Cahier de texte - Mathématique - MPI-MPI* - 2024-2025

[109]  -  Cours du mercredi 20 novembre (2h)

Devoir surveillé n°3

• Critère de liberté pour une famille finie de vecteurs d'un espace préhilbertien via une matrice de Gram
• Calcul de la distance d'un vecteur d'un espace préhilbertien à un sous-espace de dimension finie via une matrice de Gram

Procédés sommatoires discrets

• Critère de Riemann
• Exercice 26 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets : équivalent du reste d'une série de Riemann convergente, équivalent d'une somme partielle de série de Riemann divergente
• Exercice 27 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets : équivalent de la fonction \(\zeta\) de Riemann en \(1^+\)
• Définition d'une série vectorielle absolument convergente
• La série numérique \(\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{n}\) est convergente mais non-absolument convergente.
• Si l'on munit \(\mathbf{R}[X]\) de la norme \(||\:\cdot\:||_{\infty}\), la série numérique \(\displaystyle\sum \dfrac{X^n}{2^n}\) est absolument convergente mais diverge.
• Séries vectorielles absolument convergentes dans un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie
• La série \(\displaystyle\sum \dfrac{\sin(n)}{n^2}\) converge.
• Théorème de comparaison pour les séries numériques
• Attention aux signes : d'une part \( \dfrac{1}{n} \underset{n \rightarrow +\infty}{=} \operatorname{O} \left( \dfrac{(-1)^n}{n} \right) \), d'autre part la série numérique \(\displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{n}\) converge, mais la série numérique \(\displaystyle\sum \dfrac{1}{n}\) diverge.
• La série numérique \(\displaystyle\sum \dfrac{\ln(n)}{n^2}\) converge.
• Définition de l'exponentielle d'un endomorphisme d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, d'une matrice
• Lien entre exponentielle d'endomorphisme et exponentielle de matrice
• Calcul de l'exponentielle d'une symétrie vectorielle d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 33 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : série matricielle \(\displaystyle\sum (-1)^n \, H^n\) et caractère ouvert de \(\mathbf{GL}_p(\mathbf{K})\) dans \(\mathcal{M}_p(\mathbf{K})\)
• Exercice 41 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : exponentielle de la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \).
• Étudier l'énoncé et la démonstration de la proposition 44 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : exponentielle de deux matrices qui commutent.

[107]  -  Cours du lundi 18 novembre (4h)

Analyse asymptotique

• Développement limité à l'ordre 5 en 0 de \(\operatorname{Arcsin}\)
• Développement limité à l'ordre 4 en 0 de \( x \longmapsto \ln ( \operatorname{ch}(x) + \sin(x) ) \)

Espaces vectoriels normés 3

• Exercice 4 de la feuille d'exercices "Espaces vectoriels normés 3" : calcul d'une norme subordonnée d'un endomorphisme continu d'un espace de fonction
• Exercice 6 de la feuille d'exercices "Espaces vectoriels normés 3" : calcul d'une norme subordonnée de l'application qui à une fonction continue sur \([0,1]\) associe sa primitive nulle en 0

Procédés sommatoires discrets

• Sommes partielles, convergence et divergence d'une série de vecteurs d'un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel normé
• La série numérique \( \displaystyle\sum \dfrac{1}{n(n-1)} \) converge.
• \( \displaystyle\sum_{k=1}^n \dfrac{1}{k} \;\underset{n \rightarrow +\infty}{=}\; \ln(n) + \gamma + \operatorname{o}(1) \)
• La série \( \displaystyle\sum \dfrac{X^n}{n} \) diverge dans \( \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \).
• Somme et reste d'une série convergente de vecteurs d'un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel normé
• La série numérique \( \displaystyle\sum \dfrac{(-1)^n}{n} \) converge et a pour somme \(-\ln(2)\).
• Somme de termes en progression géométrique
• Critère de convergence d'une suite géométrique, critère de convergence d'une série géométrique, somme et restes d'une série géométrique convergente
• Pour tout nombre complexe \(z\), la série numérique \( \displaystyle\sum \dfrac{z^n}{n!} \) converge et a pour somme \(\exp(z)\).
• Linéarité de la somme d'une série convergente de vecteurs d'un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel normé
• Le terme général d'une série convergente de vecteurs d'un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel normé tend vers le vecteur nul et notion de divergence grossière.
• La série \( \displaystyle\sum X^n \) diverge grossièrement dans \( \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \).
• Lien suites-séries et séries télescopiques
• La série numérique \( \displaystyle\sum \ln\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) \) diverge.
• Critère de convergence pour les séries à termes réels positifs ou nuls
• La série numérique \( \displaystyle\sum \dfrac{1}{n^2} \) converge.
• Théorème de domination pour les séries à termes réels positifs ou nuls
• Théorème de comparaison pour les séries à termes réels positifs
• La série numérique \( \displaystyle\sum \ln \left( 1 + \dfrac{(-1)^n}{n} \right) \) converge.
• Théorème de comparaison série-intégrale
• Équivalent de la somme \( 1 \, \sqrt{1} + 2 \, \sqrt{2} + \ldots + n \, \sqrt{n} \) à l'aide des sommes de Riemann

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Démontrer le critère de Riemann, cf. corollaire 23 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets"
• Exercice 25 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : équivalent de la somme \( 1 \, \sqrt{1} + 2 \, \sqrt{2} + \ldots + n \, \sqrt{n} \) à l'aide d'une comparaison série-intégrale
• Exercice 27 du polycopié de cours "Procédés sommatoires discrets" : équivalent de la fonction \(\zeta\) de Riemann en \(1^+\)

[103]  -  Cours du vendredi 15 novembre (2h)

Espaces vectoriels normés 3

• Normes équivalentes sur la source et le but d'une application et continuité
• Toutes les normes d'un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel de dimension finie sont équivalentes.
• Caractère intrinsèque des notions topologiques sur un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel de dimension finie
• Base duale d'une base d'un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel de dimension finie
• Norme infinie associée à une base d'un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel de dimension finie
• Convergence des suites dans un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel de dimension finie
• Compacité dans un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel de dimension finie
• Suite bornée ayant une unique valeur d'adhérence dans un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel de dimension finie
• Caractère fermé d'un sous-espace de dimension finie dans une \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel normé
• Toute application linéaire entre deux \( \mathbf{K} \)-espaces vectoriels de dimension finie est continue.
• Définition d'une norme subordonnée pour une matrice carrée
• Calcul de la norme subordonnée d'une matrice \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \), lorsque \(\mathcal{M}_{n,1}(\mathbf{R}) \) est muni de la norme \( ||\:\cdot\:||_1 \).
• Inégalités pour les normes subordonnées de matrices carrées
• Continuité des applications polynomiales sur un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel de dimension finie
• Continuité du déterminant
• Toute application multilinéaire entre \( \mathbf{K} \)-espaces vectoriels de dimension finie est continue.
• Continuité du produit matriciel
• Continuité de la composition d'applications linéaires, lorsque les \( \mathbf{K} \)-espaces vectoriels en jeu sont de dimension finie
• Continuité de l'évaluation d'un endomorphisme d'un \( \mathbf{K} \)-espace vectoriel de dimension finie sur un vecteur

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 4 de la feuille d'exercices "Espaces vectoriels normés 3" : calcul d'une norme subordonnée d'un endomorphisme continu d'un espace de fonction
• Exercice 6 de la feuille d'exercices "Espaces vectoriels normés 3" : calcul d'une norme subordonnée de l'application qui à une fonction continue sur \([0,1]\) associe sa primitive nulle en 0

[101]  -  TD du jeudi 14 novembre (2h)

Devoir maison n°4

• Intégrales de Gauß et de Wallis
• Intégrales de Dirichlet
• Lemme de Riemann-Lebesgue

Espaces vectoriels normés 3

• Exercice 1 de la feuille d'exercices "Espaces vectoriels normés 3" : comparaison des normes \( || \:\cdot\: ||_{1} \) et \( || \:\cdot\: ||_{\infty} \) sur \( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \)
• Exercice 5 de la feuille d'exercices "Espaces vectoriels normés 3" : de la convergence des sommes partielles de la série exponentielle dans \( \mathbf{R}[X] \) et dans \( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \)

[99]  -  Cours du jeudi 14 novembre (2h)

Espaces vectoriels normés 3

• Exercice 6 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 3" : noyau et continuité d'une forme linéaire
• Remarque 9 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 3" : si \( u \colon (E,N_E) \longrightarrow (F,N_F) \) est une application linéaire continue, où \( E \not= \{ 0_E \} \), alors \[ \sup_{ N_E(x) \leqslant 1 } N_F(u(x)) = \sup_{ N_E(x) = 1 } N_F(u(x)) \]
• Exercice 11 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 3" : continuité et norme subordonnée de l'application \[ \operatorname{Eval}_0 \colon \left( \mathcal{C}^0([0,1], \mathbf{R} ) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \longrightarrow \left( \mathbf{R} , |\:\cdot\:| \right) \quad ; \quad f \longmapsto f(0) \]
• Inégalités pour les normes subordonnées d'applications linéaires continues
• Caractérisation des applications multilinéaires continues
• Définition de deux normes équivalentes
• La relation « être équivalentes » sur l'ensemble des normes d'un espace vectoriel est une relation d'équivalence.
• Comparaison des trois normes usuelles sur \( \mathbf{R}^n \) et interprétation en termes de continuité pour l'application identité
• Caractérisation séquentielle de l'équivalence de deux normes
• Comparaison des normes \( || \:\cdot\: ||_{1} \) et \( || \:\cdot\: ||_{\infty} \) sur \( \mathbf{R}[X] \)
• Comparaison des normes \( || \:\cdot\: ||_{1} \) et \( || \:\cdot\: ||_{2} \) sur \( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \)
• Invariance des notions topologiques par passage à une norme équivalente

[97]  -  Cours du mercredi 13 novembre (2h)

Intégration sur un intervalle quelconque

• Exercice 139 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : étude de la fonction \( \displaystyle x \longmapsto \int_{x}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t} \;\operatorname{d}\!t \)

Espaces vectoriels normés 3

• Caractérisation de la continuité des applications linéaires
• Continuité d'une application linéaire de \( \left( \mathbf{R}^p , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) vers \( \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \)
• Continuité d'une application linéaire construite à partir d'un produit scalaire et inégalité de Cauchy-Schwarz
• L'application linéaire \[ \operatorname{Eval}_2 \colon \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \longrightarrow \left( \mathbf{R} , |\:\cdot\:| \right) \quad ; \quad P \longmapsto P(2) \] n'est pas continue.
• L'application linéaire \[ \operatorname{Eval}_0 \colon \left( \mathcal{C}^0([0,1], \mathbf{R} ) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \longrightarrow \left( \mathbf{R} , |\:\cdot\:| \right) \quad ; \quad f \longmapsto f(0) \] est continue.
• L'application linéaire \[ \operatorname{Eval}_0 \colon \left( \mathcal{C}^0([0,1], \mathbf{R} ) , ||\:\cdot\:||_1 \right) \longrightarrow \left( \mathbf{R} , |\:\cdot\:| \right) \quad ; \quad f \longmapsto f(0) \] est discontinue.
• Opérations sur les applications linéaires continues
• Norme subordonnée d'une application linéaire continue
• Calcul de la norme subordonnée de l'application linéaire continue \[ f \colon \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \longrightarrow \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \quad ; \quad (x,y) \longmapsto (x+2y,3x+4y) \]

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 6 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 3" : noyau et continuité d'une forme linéaire
• Remarque 9 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 3" : si \( u \colon (E,N_E) \longrightarrow (F,N_F) \) est une application linéaire continue, où \( E \not= \{ 0_E \} \), alors \[ \sup_{ N_E(x) \leqslant 1 } N_F(u(x)) = \sup_{ N_E(x) = 1 } N_F(u(x)) \]
• Exercice 11 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 3" : continuité et norme subordonnée de l'application \[ \operatorname{Eval}_0 \colon \left( \mathcal{C}^0([0,1], \mathbf{R} ) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \longrightarrow \left( \mathbf{R} , |\:\cdot\:| \right) \quad ; \quad f \longmapsto f(0) \]

[95]  -  Cours du vendredi 8 novembre (2h)

Intégration sur un intervalle quelconque

• Exercice 101 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : convergence de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \;\operatorname{d}\!t \)
• Exercice 111 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : convergence de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{t^2 \ln(t)}{2+\sin(t)} \;\operatorname{d}\!t \)
• Théorème d'intégration par parties
• Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{1} t \, \ln(t) \;\operatorname{d}\!t \)
• La fonction \( \displaystyle \Gamma \colon x \longmapsto \int_{0}^{+\infty} t^{x-1} \, e^{-t} \;\operatorname{d}\!t \) est définie sur \( ]0,+\infty[ \) et vérifie, pour tout \( n \in \mathbf{N}^* \), \( \Gamma(n+1) = n! \).
• Théorème de changement de variable
• Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\ln(t)}{t^2} \;\operatorname{d}\!t \)
• Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\ln(t)}{1+t^2} \;\operatorname{d}\!t \)
• Définition d'une fonction intégrable sur un intervalle quelconque
• Si une intégrale converge absolument sur un intervalle quelconque, alors elle converge sur cet intervalle.
• L'espace vectoriel \(L^1(I,\mathbf{K})\) des fonctions intégrables sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbf{K}\)
• Théorème de comparaison en une borne quelconque
• Intégrales de Riemann en un point réel
• Théorème d'intégration des o
• Théorème d'intégration des O
• Théorème d'intégration des équivalents
• \( \displaystyle \int_1^x \dfrac{1}{t + \sqrt{t}} \;\operatorname{d}t \underset{x \rightarrow +\infty}{\thicksim} \ln(x) \)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 139 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : étude de la fonction \( \displaystyle x \longmapsto \int_{x}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t} \;\operatorname{d}\!t \)

[93]  -  TD du jeudi 7 novembre (2h)

Intégration sur un intervalle quelconque

• Exercice 1 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": 13 études d'intégrabilité (applications directes du cours).
• Exercice 2 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": 6 études d'intégrabilité (difficulté moyenne).
• Exercice 3 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": 6 études d'intégrabilité (difficile).
• Exercice 4 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": 4 études de natures d'intégrales.
• Exercice 6 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": calcul de \( \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \ln(\sin(t)) \;\operatorname{d}\!t \)
• Exercice 21 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": si une fonction \( f \) est intégrable sur \([0,+\infty[\), alors il existe une suite réelle \( (x_n)_{n \in \mathbf{N}} \) divergeant vers \(+\infty\) telle que la suite \( (x_nf(x_n))_{n \in \mathbf{N}} \) converge vers 0.
• Exercice 23 du TD "Intégration sur un intervalle quelconque": si une fonction \( f \) est décroissante et intégrable sur \([0,+\infty[\), alors \( f(x) \underset{x \rightarrow +\infty}{=} \text{o}(x) \).

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 101 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : convergence de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{\sqrt{t}} \;\operatorname{d}\!t \)
• Exercice 111 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : convergence de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{1} \dfrac{t^2 \ln(t)}{2+\sin(t)} \;\operatorname{d}\!t \)

[91]  -  Cours du jeudi 7 novembre (2h)

Intégration sur un intervalle quelconque

• Exercice 87 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : règle \( t^{\alpha} \) en \( + \infty \)
• Exercice 88 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^3 \, e^{-t^2} \;\operatorname{d}\!t \)
• Exercice 89 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \arctan\left(\dfrac{1}{t}\right) - \dfrac{1}{t} \;\operatorname{d}\!t \)
• Exercice 90 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour \( \alpha \) un réel, nature de l'intégrale \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln\left(1 + \dfrac{1}{t^{\alpha}} \right) \;\operatorname{d}\!t \)
• Exercice 91 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour \( \alpha > 0 \) et \( \beta > 0 \), nature de l'intégrale \( \displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{1}{x^{\alpha} \, \ln^{\beta}(x)} \;\operatorname{d}\!x \) (intégrale de Bertrand)
• Exercice 92 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale \( \displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{1}{\ln(x)^{\ln(\ln(x))}} \;\operatorname{d}\!x \)
• Exemple d'une fonction \( f \in \mathcal{C}^0\left([0,+\infty[,\mathbf{R}\right) \), positive et intégrable telle que \(f(x)\) ne tend pas vers \( 0 \) lorsque \(x\) ne tend pas vers \(+\infty\)
• Si une fonction \( f \in \mathcal{CM}\left([0,+\infty[,\mathbf{R}\right) \) est positive, intégrable et admet une limite \(\ell\) en \(+\infty\), alors \(\ell=0\).
• Définition d'un intégrale convergente sur un intervalle quelconque
• L'intégrale \( \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}} \;\operatorname{d}\!x \) converge et vaut 2.
• L'intégrale \( \displaystyle \int_0^1 \ln(x) \;\operatorname{d}\!x \) converge et vaut \(-1\).
• L'intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} \;\operatorname{d}\!x \) converge.
• L'intégrale \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} x \;\operatorname{d}\!x \) diverge bien que \( \displaystyle \int_{-A}^{A} x \;\operatorname{d}\!x \xrightarrow[A \rightarrow +\infty]{} 0 \).
• Intégrale d'une fonction positive sur un intervalle quelconque
• Propriétés de l'intégrale sur un intervalle quelconque : linéarité, positivité, croissance, inégalité triangulaire, relation de Chasles, séparation pour les fonctions continues
• La somme d'une intégrale convergente et d'une intégrale divergente est une intégrale divergente.
• Intégrales de Riemann au voisinage de \( 0^+ \)
• Le faux problème de convergence en une extrémité réelle
• L'intégrale \( \displaystyle \int_0^1 \dfrac{\sin(x)}{x} \;\operatorname{d}\!x \) converge.
• Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{\ln(x)}{x^2} \;\operatorname{d}\!x \)

[89]  -  Cours du mercredi 6 novembre (2h)

Intégration sur un intervalle quelconque

• Exercice 60 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour \( \beta \) un nombre réel fixé, convergence et valeur de \( \displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{1}{x \, \ln^{\beta}(x)} \;\operatorname{d}\!x \) (intégrale de Bertrand)
• Exercice 61 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} x^2 e^{-x} \;\operatorname{d}\!x \)
• Exercice 62 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour \( \lambda > 0 \) fixé, convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \sin(t) e^{- \lambda t } \;\operatorname{d}\!t \) (transformée de Laplace)
• Définition d'une fonction intégrable sur \( [a,+\infty[ \)
• Si une fonction \( f \) est intégrable sur \( [a,+\infty[ \) alors l'intégrale \( \displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t \) converge.
• L'intégrale \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\sin(t)}{t} \;\operatorname{d}\!t \) est convergente, mais non-absolument convergente.
• Théorème de comparaison sur \( [a,+\infty[ \)
• La fonction \( t \longmapsto e^{-t^2} \) est intégrable sur \( [0,+\infty[ \)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 87 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : règle \( t^{\alpha} \) en \( + \infty \)
• Exercice 88 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} t^3 \, e^{-t^2} \;\operatorname{d}\!t \)
• Exercice 89 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \arctan\left(\dfrac{1}{t}\right) - \dfrac{1}{t} \;\operatorname{d}\!t \)
• Exercice 90 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour \( \alpha \) un réel, nature de l'intégrale \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \ln\left(1 + \dfrac{1}{t^{\alpha}} \right) \;\operatorname{d}\!t \)
• Exercice 91 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour \( \alpha > 0 \) et \( \beta > 0 \), nature de l'intégrale \( \displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{1}{x^{\alpha} \, \ln^{\beta}(x)} \;\operatorname{d}\!x \) (intégrale de Bertrand)
• Exercice 92 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale \( \displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{1}{\ln(x)^{\ln(\ln(x))}} \;\operatorname{d}\!x \)
• Étudier la partie 6.4 "Du comportement asymptotique d'une fonction intégrale en \( + \infty \)" du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque"

[87]  -  Cours du lundi 4 novembre (4h)

Espaces vectoriels normés 2

• Exercice 56 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : les deux composantes connexes de \( \mathbf{GL}_n(\mathbf{R}) \) sont \( \mathbf{GL}_n(\mathbf{R})^+ \) et \( \mathbf{GL}_n(\mathbf{R})^- \).
• Exercice 60 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : les \(\mathbf{R}\)-espaces vectoriels normés \( \left( \mathbf{R} , | \:\cdot\: | \right) \) et \( \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) ne sont pas homéomorphes.

Intégration sur un intervalle quelconque

• Survol de la construction de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment
• Définition d'une fonction continue par morceaux sur un segment
• Définition de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
• Propriétés de l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
• Pas de propriété de séparation pour l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
• Pas de théorème fondamental de l'analyse pour l'intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment
• Étude de la limite éventuelle de \( \displaystyle \int_{\varepsilon}^1 \dfrac{1}{\sqrt{t}} \;\operatorname{d}\!t \) lorsque \( \varepsilon \) tend vers \( 0^+ \)
• Étude de la limite éventuelle de \( \displaystyle \int_{0}^{A} \dfrac{1}{1+t^3} \;\operatorname{d}\!t \) lorsque \( A \) tend vers \( +\infty \)
• Étude de la limite éventuelle de \( \displaystyle \int_{\varepsilon}^{2 \varepsilon} \dfrac{1}{t} \;\operatorname{d}\!t \) lorsque \( \varepsilon \) tend vers \( 0^+ \)
• Définition d'une fonction continue par morceaux sur un intervalle
• L'ensemble \( \mathcal{CM}(I,\mathbf{K}) \) des fonctions continues par morceaux est une sous-algèbre de \( \mathbf{K}^I \)
• Définition de la convergence de l'intégrale \( \displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t \) pour \( f \in \mathcal{CM}([a,+\infty[,\mathbf{K}) \) et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t \) en cas de convergence
• Convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} e^{-2t} \;\operatorname{d}\!t \)
• Divergence de l'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \sin(t) \;\operatorname{d}\!t \)
• Divergence de l'intégrale \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{t} \;\operatorname{d}\!t \)
• Si \( f \in \mathcal{CM}([a,+\infty[,\mathbf{K}) \) et \( b > a \) alors les intégrales \( \displaystyle \int_{a}^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t \) et \( \displaystyle \int_{b}^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t \) ont même nature.
• Intégrales de Riemann au voisinage de \( +\infty \)
• Intégrale d'une exponentielle au voisinage de \( +\infty \)
• Queue d'une intégrale convergente sur \( [a,+\infty[ \) et primitive de l'opposée de l'intégrande de limite nulle en \( + \infty \)
• Critère de convergence pour les intégrales de fonctions positives
• Si \( f \in \mathcal{CM}([a,+\infty[,\mathbf{R}) \) est positive, alors on pose \[ \int_a^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t := \sup \left\{ \int_a^x f(t) \;\operatorname{d}\!t \;:\; x \geqslant a \right\} \in \overline{\mathbf{R}} \] de sorte que \[ \forall \, x \geqslant a \quad \int_a^x f(t) \;\operatorname{d}\!t \leqslant \int_a^{+\infty} f(t) \;\operatorname{d}\!t \]
• Théorème de domination pour les fonctions positives sur \( [a,+\infty[ \)
• L'intégrale \( \displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{e^{-t}}{t} \;\operatorname{d}\!t \) converge.
• L'intégrale \( \displaystyle \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\operatorname{arctan}\left( t^2 \right)}{1+t^3} \;\operatorname{d}\!t \) converge.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier les parties 1 "Survol de la construction de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment", 2 "Intégrale d'une fonction continue par morceaux sur un segment"
• Apprendre le cours du jour en prêtant attention aux hypothèses de régularité et de signe des résultats
*
• Exercice 53 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : une composée de fonctions continues par morceaux n'est pas nécessairement continue par morceaux
• Exercice 60 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour \( \beta \) un nombre réel fixé, convergence et valeur de \( \displaystyle \int_2^{+\infty} \dfrac{1}{x \, \ln^{\beta}(x)} \;\operatorname{d}\!x \) (intégrale de Bertrand)
• Exercice 61 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : nature de l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} x^2 e^{-x} \;\operatorname{d}\!x \)
• Exercice 62 du polycopié de cours "Intégration sur un intervalle quelconque" : pour \( \lambda > 0 \) fixé, convergence et valeur de l'intégrale \( \displaystyle \int_0^{+\infty} \sin(t) e^{- \lambda t } \;\operatorname{d}\!t \) (transformée de Laplace)

[83]  -  Cours du vendredi 18 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 2

• Relation d'équivalence « être reliés par un chemin tracé dans \( A \) » sur une partie \( A \) d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel normé
• Exercice 42 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : \( \mathbf{GL}_n(\mathbf{C}) \) est connexe par arcs.
• Exercice 43 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : \( \mathbf{GL}_n(\mathbf{R}) \) n'est pas connexe par arcs.
• Trois propriétés des chemins joignant des points dans une partie d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel normé
• Une partie convexe d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel normé est connexe par arcs.
• Une boule d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel normé est connexe par arcs.
• Définition d'une partie étoilée d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel
• Une partie étoilée d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel normé est connexe par arcs.
• La partie \( \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \::\: | xy | \leqslant 1 \} \) de \( \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) est étoilée.
• Rappel sur les relations d'équivalences
• Définition d'une composante connexe par arcs d'une partie \( A \) d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel normé
• Les composantes connexes par arcs d'une partie \( A \) d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel normé sont des parties connexes par arcs, qui forment une partition de \( A \).
• Composantes connexes de \(\mathbf{R}^*\)
• Une partie de \( \mathbf{R} \) est connexe par arcs si seulement si elle est un intervalle.
• Image continue d'une partie connexe par arcs
• \( \mathbf{SO}_2(\mathbf{R}) \) est connexe par arcs
• Généralisation du théorème des valeurs intermédiaires
• Les matrices de transvection et les matrices de dilatation engendrent le groupe \( \mathbf{GL}_n(\mathbf{K}) \).

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 56 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : les deux composantes connexes de \( \mathbf{GL}_n(\mathbf{R}) \) sont \( \mathbf{GL}_n(\mathbf{R})^+ \) et \( \mathbf{GL}_n(\mathbf{R})^- \).
• Exercice 60 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : les \(\mathbf{R}\)-espaces vectoriels normés \( \left( \mathbf{R} , | \:\cdot\: | \right) \) et \( \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) ne sont pas homéomorphes.
• Construire un exemple pertinent d'application de la généralisation du théorème des valeurs intermédiaires.
• Étudier les exercices 1 (image réciproque d'un compact par une application continue), 2 (parties compactes de \( \mathbf{R}^2 \)), 3 (somme de deux parties compacts), 4 (composantes connexes d'un ouvert), 5 (ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite), 6 (diamètre et intersection d'une suite décroissante de compacts), 7 (un théorème de point fixe), 8 (application dilatante) et 11 (propriété de Borel-Lebesgue) du TD "Espaces vectoriels normés 2".
• Étudier et apprendre le polycopié de cours "Révisions sur l'analyse asymptotique". La table des dix développements limités usuels devra être parfaitement maîtrisée.
• DM4 : topologie matricielle, théorème de Cayley-Hamilton, théorème de Riesz.

[81]  -  TD du jeudi 17 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 2

• Exercice 9 du TD "Espaces vectoriels normés 2": toutes les normes d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel normé de dimension finie sont équivalentes.
• Exercice 10 du TD "Espaces vectoriels normés 2": théorème de d'Alembert-Gauß par voie topologique

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 42 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : \( \mathbf{GL}_n(\mathbf{C}) \) est connexe par arcs.
• Exercice 43 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : \( \mathbf{GL}_n(\mathbf{R}) \) n'est pas connexe par arcs.

[79]  -  Cours du jeudi 17 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 2

• Deuxième partie de l'exercice 15 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : un compact de \( \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) est inclus dans une boule fermée de rayon minimal.
• Exercice 24 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : la sphère unité est compacte si et seulement si la boule unité fermée l'est.
• Théorème des bornes atteintes
• Définition d'une fonction coercive
• Une fonction \( f \colon \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R} \) continue et coercive possède un minimum.
• L'application \( \mathbf{R}^2 \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto x^4 + y^4 - 4 xy \) est continue, coercive et atteint son minimum en \((1,1)\) et en \((-1,-1)\).
• Théorème de Heine
• Définition d'un arc joignant deux points tracé sur une partie d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel normé
• Définition d'une partie connexe par arcs dans un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel normé
• L'intersection de deux parties connexes par arcs n'est pas nécessairement connexe par arcs.
• Une réunion de deux parties connexes par arcs disjointes peut être connexe par arcs.
• L'ensemble \( \mathbf{C}^* \) est connexe par arcs.

[77]  -  Cours du mercredi 16 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 2

• Exercice 3 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite \( (u_n)_{n \in \mathbf{N}} \) de réels tels que \( u_{n+1} - u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 0 \) est un intervalle de \( \mathbf{R} \).
• Première partie de l'exercice 15 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : épaississement d'un compact de \( \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \)
• Un fermé relatif d'un compact est compact.
• Le groupe spécial orthogonal \( \left( \mathcal{SO}_n(\mathbf{R}) , \times \right) \) est une partie compacte de \( \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \).
• Description du groupe \( \left( \mathcal{SO}_2(\mathbf{R}) , \times \right) \)
• Une suite d'éléments d'un compact qui possède une unique valeur d'adhérence converge.
• Convergence d'une suite \( \left( u_n \right)_{n \in \mathbf{N}} \) de vecteurs de \( \left( \mathbf{K}^d, ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) qui vérifie \( u_n + \dfrac{1}{2} \, u_{2n} \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{||\:\cdot\:||_{\infty}} 0_{\mathbf{K}^d} \) converge vers le vecteur \( 0_{\mathbf{K}^d} \).
• Le produit d'un nombre fini de compacts est compact.
• La distance entre deux compacts disjoints est strictement positive.
• L'image continue d'un compact est compacte.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier et apprendre la démonstration du théorème 23 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : le produit d'un nombre fini de compacts est compact.
• Résoudre la deuxième partie de l'exercice 15 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : un compact de \( \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) est inclus dans une boule fermée de rayon minimal.
• Résoudre l'exercice 24 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : la sphère unité est compacte si et seulement si la boule unité fermée l'est.

[75]  -  Cours du lundi 14 octobre (4h)

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

• Pour tout \( p \geqslant 1 \), définition de la norme \( || \:\cdot\: ||_p \) sur \( \mathbf{R}^n \)
• Pour tout \( x \in \mathbf{R}^n \), \( || x ||_p \xrightarrow[p \rightarrow +\infty]{} || x ||_{\infty} \)
• Résoudre l'exercice 16 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude d'une suite récurrente dont la fonction sous-jacente est contractante
• Résoudre l'exercice 17 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": La fonction \[ \left| \begin{array}{rcl} \;\mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{cl} e^{-1/x^2} & \text{si } x>0 \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \] est infiniment dérivable sur \(\mathbf{R}\).
• Résoudre l'exercice 32 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction continue et convexe sur un segment \(S\) atteint son maximum en une des extrémités de \(S\).

Espaces vectoriels normés 2

• Caractérisation géométrique de la notion de valeur d'adhérence pour une suite, dans un espace vectoriel normé
• Définition d'une partie d'un espace vectoriel normé vérifiant la propriété de Bolzano-Weierstraß
• Définition d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé
• Une union finie de compacts d'un espace vectoriel normé est compacte, en particulier une partie finie d'un espace vectoriel normé est compacte.
• Une partie compacte d'un espace vectoriel normé est fermée et bornée.
• La sphère unité de \( \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) est fermée et bornée, mais n'est pas compacte.
• \( \mathbf{GL}_n( \mathbf{R} ) \) n'est pas une partie compacte de \( \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \).
• Généralisation du théorème de Bolzano-Weierstraß à \( \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \)
• Une partie fermée et bornée de \( \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) est compacte.
• La partie \( \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \::\: x^2 + 2 \, y^2 \leqslant 1 \} \) de \( \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) est compacte.
• Une partie fermée et bornée de \( \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) est compacte.
• Le groupe orthogonal \( \left( \mathcal{O}_n(\mathbf{R}) , \times \right) \) est une partie compacte de \( \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \).

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Résoudre l'exercice 3 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite \( (u_n)_{n \in \mathbf{N}} \) de réels tels que \( u_{n+1} - u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 0 \) est un intervalle de \( \mathbf{R} \).
• Résoudre l'exercice 15 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : épaississement d'un compact de \( \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) et un compact de \( \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) est inclus dans une boule fermée de rayon minimal.

[71]  -  Cours du vendredi 11 octobre (2h)

Compléments sur le DM3 : épreuve 1 du concours Mines-Ponts 2017 en filière PSI

• Définition d'une chaîne de Markov homogène (à espace d'états fini)
• Matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène
• Interprétation probabiliste des puissances de la matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

• Exercice 21 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude asymptotique des sommes \( \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k} \), \( \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \sin\left(\dfrac{1}{k}\right) \) et \( \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \sin^2\left(\dfrac{1}{k}\right) \)
• Exercice 30 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": pour tous \(x_1>0,\ldots,x_n>0\), \(\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} \right) \, \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \geqslant n^2 \)
• Exercice 34 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction \( f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} \) convexe et majorée est constante.
• Exercice 38 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": inégalité de Jensen pour les fonctions
• Exercice 42 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": inégalité de Young, inégalité de Hölder et inégalité de Minkowski.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Résoudre l'exercice 16 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude d'une suite récurrente dont la fonction sous-jacente est contractante
• Résoudre l'exercice 17 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": La fonction \[ \left| \begin{array}{rcl} \;\mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{cl} e^{-1/x^2} & \text{si } x>0 \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \] est infiniment dérivable sur \(\mathbf{R}\).
• Résoudre l'exercice 32 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction continue et convexe sur un segment \(S\) atteint son maximum en une des extrémités de \(S\).
• Résoudre l'exercice 39 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une inégalité associée aux matrices bistochastiques

[69]  -  TD du jeudi 10 octobre (2h)

DM3 : épreuve 1 du concours Mines-Ponts 2017 en filière PSI

• Un exemple de chaînes de Markov
• Convergence de suites de matrices
• Matrices stochastiques
• Un exemple de loi stationnaire pour une chaîne de Markov

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

• Exercice 15 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": si \( f \colon [0,1] \rightarrow \mathbf{R} \) est une fonction dérivable sur \([0,1]\) telle que \(f(0)=0\) et \(f(1)=1\), alors pour tout \( n \in \mathbf{N}^* \), il existe des réels \( 0 < x_1 < \ldots < x_n < 1 \) tels que \( \displaystyle \sum_{k=1}^n f'(x_k) = n \).

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Apprendre les parties 5. "Fonctions de classe \(\mathcal{C}^k\)", 6. "Généralités sur les fonctions convexes", 7. "Fonctions convexes dérivables, deux fois dérivables", 8. "Quatre inégalités classiques"
• Résoudre l'exercice 21 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude asymptotique des sommes \( \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k} \), \( \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \sin\left(\dfrac{1}{k}\right) \) et \( \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \sin^2\left(\dfrac{1}{k}\right) \)
• Résoudre l'exercice 26 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude asymptotique de la somme \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^{1-\alpha}} \) où \( \alpha \in \;]0,1[ \).
• Résoudre l'exercice 30 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": pour tous \(x_1>0,\ldots,x_n>0\), \(\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} \right) \, \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \geqslant n^2 \)
• Résoudre l'exercice 34 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction \( f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} \) convexe et majorée est constante.

[67]  -  Cours du jeudi 10 octobre (2h)

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

• Exercice 8 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une condition suffisante pour qu'une fonction continue \( f \colon \mathbf{R}_+ \rightarrow \mathbf{R}_+ \) possède un point fixe
• Exercice 3 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction \( f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} \) continue et périodique est bornée.
• Si \( (a,b) \in \mathbf{R}^2 \), détermination des extrema de la fonction \( f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto a \cos(x) + b \sin(x) \)
• Exercice 5 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction \( f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} \) continue et ayant pour limite \(+\infty\) en \(\pm \infty\) admet un minimum.
• Exercice 12 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction \( f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} \) continue et ayant pour limite \(+0\) en \(\pm \infty\) est uniformément continue.
• Exercice 23 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction \( f \colon [0,1] \rightarrow \mathbf{R} \) dérivable, nulle en zéro et dont la dérivée ne s'annule en aucun point est de signe constant.
• La suite de terme général \( \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k} \) converge vers \(\ln(2)\).

[65]  -  Cours du mercredi 9 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

• Exercice 129 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : continuité de l'application \( f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}^3 \;;\; t \mapsto \left( \cos(t) , \dfrac{\arctan(t)}{t^2+1} , \dfrac{e^t}{2+\sin(t)} \right) \)
• Une suite réelle bornée, qui possède une unique valeur d'adhérence, est convergente.
• Exercice 132 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : continuité d'une application et caractère fermé de son graphe
• Caractérisation de la continuité via les ouverts
• Caractérisation de la continuité via les fermés
• Propriétés topologiques des parties \[ A = \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \;:\; y^{2} + x y + y = x^{3} + x^2 + x + 1 \} \qquad\text{et}\qquad B = \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \;:\; y^{2} + x y + y > x^{3} + x^2 + x + 1 \} \] de \( \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \)
• Applications uniformément continues
• L'uniforme continuité implique la continuité.
• L'application \( f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto x^2 \) est continue sur \(\mathbf{R}\) mais non-uniformément continue sur \(\mathbf{R}\).
• Applications lipschitziennes
• Le caractère lischitzien implique l'uniforme continuité.
• Si \( \left( E , ||\:\cdot\:|| \right) \) est un espace vectoriel normé alors l'application \( ||\:\cdot\:|| \colon ( \left( E , ||\:\cdot\:|| \right) \rightarrow ( \mathbf{R} , |\:\cdot\:| ) \;;\; x \mapsto ||x|| \) est 1-lipschitzienne (seconde inégalité triangulaire).
• Si \(A\) est une partie non vide d'un espace vectoriel normé \( \left( E , ||\:\cdot\:|| \right) \) alors l'application \[ \operatorname{d}(\:\cdot\:,A) \colon E \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto \inf_{a \in A} || x - a || \] est 1-lipschitzienne.

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

• Exercice 10 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": théorème de Borsuk-Ulam en dimension 1

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Apprendre le polycopié de cours "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles"
• Résoudre l'exercice 8 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une condition suffisante pour qu'une fonction continue \( f \colon \mathbf{R}_+ \rightarrow \mathbf{R}_+ \) possède un point fixe
• DM3 : chaînes de Markov, convergence de suites de matrices, matrices stochastiques

[63]  -  Cours du lundi 7 octobre (4h)

Espaces vectoriels normés 1

• Exercice 84 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : adhérence d'une boule ouverte
• Exercice 89 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : propriétés topologiques de \(\mathcal{S}_n(\mathbf{R})\) et de \(GL_n(\mathbf{R})\)
• Exercice 90 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : propriétés topologiques de \( \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f(1)=1 \} \) pour les normes \( ||\:\cdot\:||_1 \) et \( ||\:\cdot\:||_{\infty} \)
• Exercice 97 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : densité de \(GL_n(\mathbf{R})\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\)
• Exercice 98 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : alternative topologique des hyperplans
• Exercice 108 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : adhérence de \( \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f > 0 \} \) et intérieur de \( \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f(0)=0 \} \) dans \( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \) pour la norme \( ||\:\cdot\:||_{\infty} \)
• Définition de la notion de limite pour une fonction
• Unicité de la limite d'une fonction
• Caractérisation séquentielle de la notion de limite
• La fonction \( f \colon \mathbf{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \rightarrow \mathbf{R} \;;\; (x,y) \mapsto \dfrac{xy}{x^2+y^2} \) n'admet aucune limite au point \( (0,0) \).
• Composition de limites de fonctions
• Limite d'une fonction dans un espace produit
• Opérations algébriques sur les limites de fonctions
• Définition de la continuité d'une fonction
• Opérations algébriques sur les fonctions continues
• Composition de fonctions continues
• Continuité d'une fonction à valeurs dans un espace produit
• Caractérisation séquentielle de la continuité
• L'application \( \operatorname{det} \colon \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \rightarrow \mathbf{R} \;;\; A \mapsto \operatorname{det}(A) \) est continue.
• Prolongement d'identités par continuité et densité
• Une application \(f\) continue de \( \mathbf{R} \) dans \( \mathbf{R} \) qui est un endomorphisme du groupe \( \left( \mathbf{R} , + \right) \) est linéaire.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 129 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : continuité de l'application \( f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}^3 \;;\; t \mapsto \left( \cos(t) , \dfrac{\arctan(t)}{t^2+1} , \dfrac{e^t}{2+\sin(t)} \right) \)
• Exercice 132 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : continuité d'une application et caractère fermé de son graphe

[59]  -  Cours du vendredi 4 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

• Définition d'une valeur d'adhérence de suite
• Théorème de Bolzano-Weierstraß
• Toute suite bornée de \( \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) possède une valeur d'adhérence.
• La suite \( \left( X^n \right)_{n \in \mathbf{N}} \) de \( \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \) est bornée mais elle ne possède pas de valeur d'adhérence.
• Définitions d'une partie ouverte et d'une partie fermée d'un espace vectoriel normé
• Un singleton est une partie fermée.
• Il existe des parties d'un espace vectoriel normé qui ne sont ni ouvertes, ni fermées.
• Propriétés topologiques des boules
• Opérations sur les ouverts et les fermés
• Une sphère est une partie fermée
• Dans un espace vectoriel normé produit, un produit d'ouverts est un ouvert et un produit de fermés est un fermé.
• Définition d'un voisinage d'un point
• Une partie est ouverte si et seulement si elle est un voisinage de chacun de ses points.
• Opérations sur les voisinages
• Définition de l'adhérence d'une partie
• L'adhérence d'une partie est le plus petit fermé qui la contient.
• Une partie est fermée si et seulement si elle est égale à son adhérence.
• Caractérisations séquentielles de l'adhérence et des fermés
• La partie \( \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \::\; x=y \} \) est fermée dans \( \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) \).

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier les parties 3.8 "Densité d'une partie", 3.9 "Intérieur d'une partie", 3.10 "Frontière d'une partie" et 3.11 "Topologie induite" du du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1".
• Exercice 84 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : adhérence d'une boule ouverte
• Exercice 89 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : propriétés topologiques de \(\mathcal{S}_n(\mathbf{R})\) et de \(GL_n(\mathbf{R})\)
• Exercice 90 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : propriétés topologiques de \( \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f(1)=1 \} \) pour les normes \( ||\:\cdot\:||_1 \) et \( ||\:\cdot\:||_{\infty} \)
• Exercice 97 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : densité de \(GL_n(\mathbf{R})\) dans \(\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\)
• Exercice 98 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : alternative topologique des hyperplans
• Exercice 108 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : adhérence de \( \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f > 0 \} \) et intérieur de \( \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f(0)=0 \} \) dans \( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \) pour la norme \( ||\:\cdot\:||_{\infty} \)

[57]  -  TD du jeudi 3 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

• Exercice 51 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : la convergence uniforme d'une suite de fonctions implique sa convergence simple, mais la réciproque est fausse.
• Exercice 52 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : étude d'une suite de fonctions qui converge pour la norme \(||\:\cdot\:||_1\) et qui diverge pour la norme \(||\:\cdot\:||_{\infty}\).
• Exercice 58 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : si \( A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) \) est diagonalisable avec un spectre inclus dans le disque unité ouvert, alors la suite de ses puissances converge vers la matrice nulle pour la norme \(||\:\cdot\:||_{\infty}\).
• Exercice 1 du TD "Espaces vectoriels normés 1": comparaison de deux normes sur \( \mathbf{R}[X] \)
• Exercice 6 du TD "Espaces vectoriels normés 1": les boules unités ouvertes caractérisent les normes.
• Exercice 7 du TD "Espaces vectoriels normés 1": inégalités de Young et normes \(||\:\cdot\:||_p\) sur \( \mathbf{R}^n \).
• Exercice 8 du TD "Espaces vectoriels normés 1": normes \(||\:\cdot\:||_p\) sur \( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \).
• Exercice 27 du TD "Espaces vectoriels normés 1": norme associée à une jauge.

[55]  -  Cours du jeudi 3 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

• Exercice 29 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : deux boules égales ont nécessairement même centre et même rayon.
• Exercice 35 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : stabilité d'une partie convexe d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel par combinaison linéaire convexe (les coefficients sont positifs ou nuls, de somme égale à 1)
• Définition d'une partie bornée d'un espace vectoriel normé
• Définition d'une suite bornée d'un espace vectoriel normé
• La suite de fonctions \( \left( f_n \colon [0,1] \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto \sqrt{n} \; x^n \right)_{n \in \mathbf{N}} \) de \( \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R})\) est bornée pour la norme \(||\:\cdot\:||_1\) et non bornée pour la norme \(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
• Norme produit sur un produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels normés
• Les boules d'un espace produit sont des produits de boules.
• Définition d'une suite convergente
• Une suite \( (u_n)_{n \in \mathbf{N}} \) d'éléments d'un espace vectoriel normé \( (E,N) \) converge vers un vecteur \(a\) de \(E\) si et seulement si la suite \( (N(u_n-a))_{n \in \mathbf{N}} \) converge vers \(0\) dans \(\mathbf{R}\).
• Nature de la suite de terme général \( \left( \dfrac{\ln(n)}{n} , \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \right) \) dans \(\mathbf{R}^2\) muni de la norme \(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
• Nature de la suite de terme général \( X^n \) dans \(\mathbf{R}[X]\) muni de la norme \(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
• Unicité de la limite d'une suite convergente
• Une suite convergente est bornée.
• Si \(x\) est un vecteur d'un espace vectoriel normé, nature de la suite de terme général \( \dfrac{1}{n} \, x \) et nature de la suite de terme général \( n x \)
• Opérations sur les suites convergentes
• Convergence d'une suite dans un espace produit muni de la norme produit
• Définition d'une suite extraite d'une suite
• Lemme clé pour les suites extraites
• Dans un espace vectoriel normé, si une suite de vecteur converge vers un vecteur \(a\) alors toute suite extraite de cette suite converge également vers le vecteur \(a\)

[53]  -  Cours du mercredi 2 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

• Exercice 11 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : il n'existe aucune norme multiplicative sur \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \) et exemple d'une norme de \(\mathbf{R}\)-algèbre sur \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \)
• Exercice 12 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : normes usuelles sur \(\mathbf{K}[X]\) : \(||\:\cdot\:||_1\) , \(||\:\cdot\:||_2\) , \(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
• Norme de la convergence en moyenne sur \( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{K}) \)
• Norme de la convergence en moyenne quadratique sur \( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{K}) \)
• Comparaison des normes \(||\:\cdot\:||_1\) et \(||\:\cdot\:||_2\) sur \( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{K}) \)
• Définition de la distance associée à une norme
• Propriétés de la distance associée à une norme
• Calcul des distances entre les points \((1,1)\) et \((4,2)\) de \(\mathbf{R}^2\) pour les normes \(||\:\cdot\:||_1\) , \(||\:\cdot\:||_2\) , \(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
• Définitions d'une boule ouverte, d'une boule fermée et d'une sphère dans espace vectoriel normé
• Représentations graphiques des boules unités de \(\mathbf{R}^2\) pour les normes \(||\:\cdot\:||_1\) , \(||\:\cdot\:||_2\) , \(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
• Représentation graphique d'une boule fermée dans \( \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{K}) \) pour la norme de la convergence uniforme
• Définition d'un segment dans un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel
• Définition d'une partie convexe d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel
• Les boules d'un espace vectoriels normés sont des parties convexes.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 29 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : deux boules égales ont nécessairement même centre et même rayon.
• Exercice 35 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : stabilité d'une partie convexe d'un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel par combinaison linéaire convexe (les coefficients sont positifs ou nuls, de somme égale à 1)

[51]  -  Cours du lundi 30 septembre (4h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

• Exercice 103 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": une inégalité entre la trace et le déterminant d'une matrice réelle diagonalisable, dont toutes les valeurs propres sont positives.
• Exercice 104 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": calcul des puissances de la matrice \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\) d'une part en diagonalisant la matrice, d'autre part à l'aide de la formule du binôme de Newton
• Exercice 123 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": caractérisation de la nilpotence d'une matrice via les traces de ses puissances dans le cas où le corps de base est \( \mathbf{C} \)

Espaces vectoriels normés 1

• Définition d'une norme sur un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel
• Norme du vecteur nul
• Norme de l'opposé d'un vecteur
• Seconde inégalité triangulaire
• Inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace préhilbertien et cas d'égalité
• Inégalité de Minkowski dans un espace préhilbertien et cas d'égalité
• Norme associée à un produit scalaire
• Normes usuelles sur \(\mathbf{K}^n\) : \(||\:\cdot\:||_1\) , \(||\:\cdot\:||_2\) , \(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
• Comparaison des trois normes usuelles sur \(\mathbf{K}^n\)
• L'application \[ ||\:\cdot\:|| \;\colon\; \mathbf{R}_n[X] \rightarrow \mathbf{R}_+ \;;\; P \mapsto \sqrt{ \sum_{i=0}^n P(i)^2 } \] est une norme sur \(\mathbf{R}_n[X]\).
• Définition d'une application bornée d'un ensemble non vide \( A \) à valeurs dans \(\mathbf{K}\)
• La partie \( \mathcal{B}(A,\mathbf{K}) \) de \(\mathbf{K}^A\) est un sous-espace vectoriel
• Passage à la borne supérieure
• Norme de la convergence uniforme sur \( \mathcal{B}(A,\mathbf{K}) \)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 11 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : il n'existe aucune norme multiplicative sur \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \) et exemple d'une norme de \(\mathbf{R}\)-algèbre sur \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \)
• Exercice 12 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : normes usuelles sur \(\mathbf{K}[X]\) : \(||\:\cdot\:||_1\) , \(||\:\cdot\:||_2\) , \(||\:\cdot\:||_{\infty}\)
• Exercice 13 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : Comparaison des trois normes usuelles sur \(\mathbf{K}[X]\)

[47]  -  Cours du vendredi 27 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

• Caractérisation de la diagonalisabilité via le scindage du polynôme caractéristique et la multiplicité de ses racines
• Trace et déterminant d'un endomorphisme/d'une matrice diagonalisable
• Définition d'une matrice trigonalisable
• Toute matrice triangulaire supérieure est semblable à une matrice triangulaire inférieure et réciproquement.
• Influence du corps de base sur la trigonalisabilité d'une matrice
• Définition d'un endomorphisme trigonalisable
• Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans une base quelconque est trigonalisable.
• Une matrice de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \) est trigonalisable si et seulement si l'endomorphisme de \( \mathbf{K}^n \) canoniquement associé est trigonalisable.
• Caractérisation de la trigonalisabilité via le polynôme caractéristique
• Trigonalisabilité dans le cas où le corps de base est \(\mathbf{C}\)
• Trigonalisation de la matrice \(\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \)
• Définition d'une matrice nilpotente et du nilindice d'une telle
• Une matrice triangulaire stricte est nilpotente
• Définition d'un endomorphisme nilpotent et du nilindice d'un tel
• Un endomorphisme est nilpotent si et seulement si sa matrice dans une base quelconque est nilpotente.
• Une matrice de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \) est nilpotente si et seulement si l'endomorphisme de \( \mathbf{K}^n \) canoniquement associé est nilpotent.
• Majoration du nilindice
• Caractérisation de la nilpotence via le polynôme caractéristique
• La seule matrice nilpotente et diagonalisable est la matrice nulle.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 103 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": une inégalité entre la trace et le déterminant d'une matrice réelle diagonalisable, dont toutes les valeurs propres sont positives.
• Exercice 104 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": calcul des puissances de la matrice \(\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\)
• Exercice 123 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": caractérisation de la nilpotence d'une matrice via les traces de ses puissances dans le cas où le corps de base est \( \mathbf{C} \)

[45]  -  TD du jeudi 26 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

• Exercice 4 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": la matrice \( \begin{pmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} \) n'est pas diagonalisable sur \( \mathbf{R} \), est diagonalisable sur \( \mathbf{C} \) et est semblable à la matrice \( \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \).
• Exercice 6 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'application : \[ f \colon \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \rightarrow \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \;;\; M \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \, M - M \, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
• Exercice 15 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": droites stables de l'endomorphisme de \( \mathbf{R}^3 \) canoniquement associé à la matrice \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \)
• Exercice 18 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'application : \[ f \colon \mathbf{R}_n[X] \rightarrow \mathbf{R}_n[X] \;;\; P \mapsto n^2 \, X \, P - \left( X^2 + X \right) \, P' - X^3 \, P'' \]
• Exercice 20 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": une matrice de rang 1 est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle.
• Exercice 23 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": résolution de l'équation \[ M^3 - 2 M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 10 & 4 \end{pmatrix} \] d'inconnue \( M \in \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \)
• Exercice 37 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": une matrice de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \) possède une valeur propre réelle si \( n \) est impaire, mais ne possède pas nécessairement de valeur propre réelle si \( n \) est pair.
• Exercice 41 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": densité de \( \mathbf{GL}_n(\mathbf{C}) \) dans \( \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) \)

[43]  -  Cours du jeudi 26 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

• Exercice 83 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'inverse d'une matrice inversible
• Exercice 84 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": polynôme caractéristique du produit de deux matrices
• Définition d'un endomorphisme diagonalisable
• Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si sa matrice dans une base quelconque est diagonalisable.
• Une matrice de \( \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) \) est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme de \( \mathbf{K}^n \) canoniquement associé est diagonalisable.
• Projecteurs et symétries sont diagonalisables.
• Caractérisation de la diagonalisabilité via la somme directe des sous-espaces propres
• Caractérisation de la diagonalisabilité via la somme directe des dimensions des sous-espaces propres
• Diagonalisabilité et éléments propres de l'endomorphisme \[ f \colon \mathbf{K}^n \rightarrow \mathbf{K}^n \;;\; (x_1,\ldots,x_n) \mapsto \left( \sum_{i=1}^n x_i , \ldots , \sum_{i=1}^n x_i \right) \]
• Si le polynôme caractéristique d'un endomorphisme (resp. d'une matrice) est scindé à racines simples alors cet endomorphisme (resp. cette matrice) est diagonalisable.
• Une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont deux à deux distincts est diagonalisable.
• Si \( M \in \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \) vérifie \( \operatorname{tr}(M)^2 > 4 \, \operatorname{det}(M) \) alors \( M \) est diagonalisable sur \( \mathbf{R} \).

[41]  -  Cours du mercredi 25 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

• Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres.
• Si deux matrices ont le même polynôme caractéristique, elles ne sont pas nécessairement semblables.
• Exercice 73 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de cinq matrices \((3,3)\)
• Exercice 76 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'endomorphisme \( f \colon \mathbf{K}_n[X] \rightarrow \mathbf{K}_n[X] \;;\; P \mapsto P + P' \)
• Polynôme caractéristique et valeurs propres d'une matrice triangulaire
• Polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit
• Rappel sur la multiplicité d'une racine de polynôme
• Définition de l'ordre de multiplicité d'une valeur propre
• La multiplicité d'une valeur propre majore la dimension du sous-espace propre.
• Exercice 81 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": polynôme caractéristique d'une matrice compagnon
• Définition d'une matrice carrée diagonalisable
• Une matrice diagonalisable ne possédant qu'une valeur propre est une homothétie.
• Une matrice diagonalisable possède un polynôme caractéristique scindé.
• Une matrice donc le polynôme caractéristique est scindé n'est pas nécessairement diagonalisable.
• Influence du corps de base sur la diagonalisabilité d'une matrice

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 83 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'inverse d'une matrice inversible
• Exercice 84 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": polynôme caractéristique du produit de deux matrices

[39]  -  Cours du lundi 24 septembre (4h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

• Exercice 40 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": valeurs propres et vecteurs propres de l'endomorphisme de \(\mathbf{R}^2\) canoniquement associé à la matrice \( \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \).
• Définition des sous-espaces propres d'un endomorphisme
• CNS pour que 0 soit valeur propre d'un endomorphisme \(u\) et \(E_0(u)=\operatorname{Ker}(u)\)
• Des sous-espaces propres distincts d'un endomorphisme sont en somme directe.
• Majoration du nombre des valeurs propres d'un endomorphisme d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie
• Une méthode pour déterminer les éléments propres d'un endomorphisme : équatio aux éléments propres
• Éléments propres d'une homothétie
• Éléments propres d'un endomorphisme nilpotent
• Éléments propres de l'opérateur de dérivation sur \(\mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R})\)
• Éléments propres de l'opérateur de dérivation sur \(\mathbf{R}[X]\)
• Endomorphismes qui commutent et sous-espaces stables
• Un endomorphisme stabilise son noyau, son image et ses sous-espaces propres
• Réduction d'un endomorphisme \(u\) d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel \(E\) tel que \(E=\operatorname{Ker}(u) \oplus \operatorname{Im}(u) \)
• Réduction d'un endomorphisme \(u\) d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel qui est somme directe des sous-espaces propres de \(u\)
• Définition des éléments propres d'une matrice carrée
• Spectre réel (resp. complexe) de la matrice \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)
• \'Eléments propres d'un endomorphisme versus éléments propres d'une matrice
• Majoration du nombre de valeurs propres d'une matrice
• Définition du polynôme caractéristique d'une matrice
• Polynôme caractéristique de la matrice \( \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \)
• Polynôme caractéristique de deux matrices semblables
• Définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme
• Degré et coefficients remarquables du polynôme caractéristiques
• Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 73 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de cinq matrices \((3,3)\)
• Exercice 76 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'endomorphisme \( f \colon \mathbf{K}_n[X] \rightarrow \mathbf{K}_n[X] \;;\; P \mapsto P + P' \)
• Exercice 81 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": polynôme caractéristique d'une matrice compagnon

[35]  -  Cours du vendredi 20 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

• Exercice 16 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": si \(A,B\) sont des matrices carrées réelles qui commutent alors \(\det\left(A^2+B^2\right) \geqslant 0 \)
• Exercice 22 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1" : calcul d'un endomorphisme induit par un endomorphisme \(u\) de \(\mathbf{R}^3\) sur un plan stable par \(u\)
• Détermination des droites de \(\mathbf{R}^2\) stables sous l'endomorphisme de \(\mathbf{R}^2\) canoniquement associé à la matrice \( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \).
• Base d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel adaptée à un sous-espace vectoriel
• Sous-espaces stables par un endomorphisme et matrices triangulaires par blocs
• Base adaptée à une décomposition d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel en somme directe de sous-espaces vectoriels
• Décomposition d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel en somme directe de sous-espaces vectoriels stables et matrices diagonales par blocs
• Définition d'un endomorphisme diagonalisable
• Un endomorphisme d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel \(E\) est diagonalisable si et seulement si \(E\) admet une décomposition en somme directe de droites stables.
• Définition des valeurs propres et des vecteurs propres d'un endomorphismes
• Un endomorphisme possède une valeur propre si et seulement s'il stabilise une droite.
• Caractérisation des valeurs propres et des vecteurs propres d'un endomorphisme \(u\) via le noyau de \( u - \lambda \, \text{id} \)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Exercice 40 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": valeurs propres et vecteurs propres de l'endomorphisme de \(\mathbf{R}^2\) canoniquement associé à la matrice \( \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \).

[33]  -  TD du jeudi 19 septembre (2h)

Correction du DM1

• Fonctions \( f \in \mathcal{D}^3\left(\mathbf{R},\mathbf{R}\right) \) telles que \(f^{(3)}f=0\)

Correction du DM2

• Franchissement d'une barrière de péage à trois voies
• Matrices de Rademacher
• Des contre-exemples en algèbre linéaire
• Réduction guidée d'un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\)
• Centre de \( \mathcal{L}(E) \)
• Unions finies de sous-espaces vectoriels
• Existence d'un supplémentaire commun

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier et apprendre le cours du jour.
• Exercice 16 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1" : si \(A,B\) sont des matrices carrées réelles qui commutent alors \(\det\left(A^2+B^2\right) \geqslant 0 \)
• Exercice 22 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1" : calcul d'un endomorphisme induit par un endomorphisme \(u\) de \(\mathbf{R}^3\) sur un plan stable par \(u\)

[31]  -  Cours du jeudi 19 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

• Rappels sur les produits de \(\mathbf{K}\)-espaces vectoriels
• Dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels
• Somme et produit de deux matrices définies par blocs
• Interprétation géométrique des blocs d'une matrice définie par blocs
• Inversibilité et inverse de la matrice \(\begin{pmatrix} 1 & L \\ 0 & M \end{pmatrix}\) où \(L\) est un vecteur ligne et \(M\) une matrice carrée inversible.
• Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs
• Puissances d'une matrice diagonale par blocs
• Démonstration de \( \det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(AD-BC) \) si \(C,D\) commutent et \(D\) est inversible.
• Définition d'un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme
• Définition d'un endomorphisme induit sur un sous-espace vectoriel stable
• Sous-espaces de \( \mathbf{K}[X] \) stables par dérivation

[29]  -  Cours du mercredi 18 septembre (2h)

Algèbre linéaire de MP2I

• Exercice 122 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : calcul des coordonnées d'un vecteur de \(\mathbf{R}^3\) dans une base de \(\mathbf{R}^3\)
• Exercice 158 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : toute matrice inversible peut être vue comme une matrice de passage.
• Une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est inversible à droite, si et seulement si elle est inversible à gauche.
• Composer une application linéaire par un automorphisme ne modifie pas son rang.
• Un endomorphisme est de rang \(r\) si et seulement si il est représentable par la matrice de Jordan \(J(r)\) dans des bases.
• Une matrice est de rang \(r\) si et seulement si elle est équivalente à la matrice de Jordan \(J(r)\).
• Définition d'un hyperplan d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel
• Si \(H\) est un hyperplan d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel \(E\), alors tout vecteur de \(E\) hors de \(H\) engendre une droite supplémentaire de \(H\) dans \(E\).
• Un sous-espace vectoriel d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel \(E\) est un hyperplan si et seulement s'il possède un supplémentaire dans \(E\) qui est une droite.

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

• Projecteurs associés à une décomposition en somme directe

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier et apprendre le cours du jour, spécialement les démonstrations mettant en jeu des transferts de propriétés des applications linéaires vers les matrices.
• Étudier la partie 10 "Déterminant" du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
• Étudier la partie 2.1 "Sous-espaces stables et endomorphismes induits" du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1".
• Exercice 20 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1" : Sous-espaces de \( \mathbf{K}[X] \) stables par dérivation

[27]  -  Cours du lundi 16 septembre (4h)

Algèbre linéaire de MP2I

• Surjectivité de l'application \( f \colon \mathbf{K}_n[X] \rightarrow \mathbf{K}_n[X] \;;\; P \mapsto P-P' \)
• Théorème et formule du rang
• Critères pour qu'une application linéaire entre deux \(\mathbf{K}\)-espaces vectoriels de dimension finie soit un isomorphisme
• Si \(P\) est un polynôme de degré \(n\) à coefficients réels et \(\lambda\) est un réel non nul, alors il existe un unique polynôme \(Q\) de degré inférieur ou égal à \(n\) tel que la fonction \( x \mapsto Q(x) \exp(\lambda x) \) est une primitive de la fonction \( x \mapsto P(x) \exp(\lambda x) \)
• Coordonnées d'un vecteur dans une base
• Matrice d'une application linéaire dans des bases
• Expression des coordonnées de l'image d'un vecteur \(u \in E\) dans la base \(\underline{f}\) de \(F\) par une application linéaire \(\varphi \colon E \rightarrow F\) en fonction des coordonnées du vecteur \(u\) dans la base \(\underline{e}\) et de la matrice \(\operatorname{Mat}_{\underline{e},\underline{f}}(\varphi)\) de application linéaire : \(\operatorname{Mat}_{\underline{f}}(\varphi(u)) = \operatorname{Mat}_{\underline{e},\underline{f}}(\varphi) \times \operatorname{Mat}_{\underline{e}}(u)\)
• Matrice d'une composée d'applications linéaires dans des bases
• Application linéaire canoniquement associée à une matrice
• Définition du noyau et de l'image d'une application linéaire
• Formule du rang pour une matrice
• Le rang d'une matrice est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ses colonnes.
• Une matrice est inversible si et seulement si son noyau est trivial.
• Matrices de passages
• Tout endomorphisme nilpotent d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie peut être représentée par une matrice triangulaire supérieure stricte dans une base
• Théorème de changement de base pour les applications linéaires
• Théorème de changement de base pour les endomorphismes
• Factorisation de la différence de deux puissances de matrices qui commutent
• Si \(A\) est une matrice nilpotente, alors la matrice \(I_n+A\) est inversible.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier et apprendre le cours du jour, spécialement la trigonalisation des endomorphismes nilpotents.
• Étudier les parties 8.3 "Matrices inversibles", 8.4 "Trace d'une matrice carrée", 8.5 "Transposée d'une matrice" et 8.6 "Rang d'une matrice et matrices \(J_{n,p}(r)\)" du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
• Exercice 122 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : calcul des coordonnées d'un vecteur de \(\mathbf{R}^3\) dans une base de \(\mathbf{R}^3\)
• Exercice 158 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : toute matrice inversible peut être vue comme une matrice de passage.

[23]  -  Cours du vendredi 13 septembre (2h)

Algèbre linéaire de MP2I

• Exercice 45 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : Les sous-espaces \( \{ f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; f''+f=0 \}\) et \( \{ f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; f(0)=f(\pi/2) \}\) sont supplémentaires dans \(\mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R})\).
• Théorème des degrés échelonnés (famille libre)
• Construction d'une base adaptée à une décomposition de l'espace en somme directe de sous-espace
• Théorème des degrés échelonnés (base)
• Définition d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie
• Lemme clé pour le théorème de la base extraite
• Théorème de la base extraite
• Existence d'une base pour un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie
• Lemme clé pour le théorème de la base incoomplète
• Théorème de la base incomplète
• Comparaison des cardinaux de familles libres et de familles génératrices d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie
• Définition de la dimension d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie
• Dans un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, un famille libre de cardinal maximal est une base.
• Dans un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie, un famille génératrice de cardinal minimal est une base.
• Un sous-espace \(F\) d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie est lui-même de dimension finie, \(\operatorname{dim}(F) \leqslant \operatorname{dim}(E)\) et, si \(\operatorname{dim}(F) = \operatorname{dim}(E)\), alors \(E=F\).
• Formules de Grassmann
• Dimension d'une somme directe de sous-espaces
• Dimension de l'intersection de deux hyperplans distincts d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie
• Critère pour que deux sous-espaces d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel de dimension finie soient supplémentaires via la dimension
• Image directe (resp. réciproque) d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire
• Noyau et image d'une application linéaire
• Critère d'injectivité d'une application linéaire via son noyau (resp. son image)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier et apprendre une démonstration du théorème 53, basée sur des arguments de minimalité, tant pour un sous-espace engendré que pour la somme de deux sous-espaces.
• Étudier et apprendre une démonstration de la proposition 113.
• Étudier les parties 6 "Applications linéaires" et 7 "Matrices d'applications linéaires" du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
• Devoir maison n°2 : franchissement d'une barrière de péage à trois voies, matrices de Rademacher, contre-exemples en algèbre linéaire, réduction guidée d'un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\), centre de \(\mathcal{L}(E)\), unions finies de sous-espaces vectoriels d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel, existence d'un supplémentaire commun.

[21]  -  TD du jeudi 12 septembre (2h)

Algèbre linéaire de MP2I

• Exercice 34 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : la somme des trois sous-espaces propres de la matrice \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) égale \( \mathcal{M}_{3,1}(\mathbf{R}) \)
• Exercice 16 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : image d'une somme de sous-espaces vectoriels par une application linéaire
• Exercice 30 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : projecteurs
• Exercice 39 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : inégalités sur le rang
• Exercice 40 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : rang d'un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) nilpotent de nilindice 2
• Exercice 54 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : équation matricielle \( X = \operatorname{tr}(X) A + B \)
• Exercice 63 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : supplémentaire de \( A \mathbf{K}[X] \) dans \( \mathbf{K}[X] \)
• Exercice 66 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : trigonalisation d'un endomorphisme nilpotent
• Exercice 67 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : une caractérisation des homothéties
• Exercice 74 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : rang de l'application \( \mathcal{L}(E) \rightarrow \mathcal{L}(E) \;;\; v \mapsto v \circ u \)
• Exercice 75 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : sous-espaces de \( \mathbf{K}[X] \) stables par dérivation
• Exercice 80 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : liberté de la famille \( \left( P(X+x_0) , P(X+x_1) , \ldots , P(X+x_n) \right) \) où \(P\) est un polynôme de degré \(n\) et \(x_0,x_1,\ldots,x_n\) sont des scalaires deux à deux distincts

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier et apprendre les parties 3 "Familles remarquables finies", 4 "Familles remarquables" et 5 "Dimension finie" du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I"
• Exercice 45 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : Les sous-espaces \( \{ f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; f'' + f = 0 \}\) et \( \{ f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; f(0)=f(\pi/2) \}\) sont supplémentaires dans \(\mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R})\).

[19]  -  Cours du jeudi 12 septembre (2h)

Algèbre linéaire de MP2I

• Exercice 24 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : CNS pour qu'une union de deux sous-espaces vectoriels soit un sous-espace vectoriel
• Exercice 33 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : décomposition de \( \mathbf{R}^3 \) en somme de trois plans
• Définition d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels en somme directe
• Caractérisation du caractère direct d'une somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels, via l'unicité de la décomposition du vecteur nul dans cette somme
• Des sous-espaces vectoriels deux à deux en somme directe ne sont pas nécessairement en somme direct : contre exemple avec trois droites de \(\mathbf{R}^2\) passant par l'origine.
• Exemple de trois plans de \(\mathbf{R}^3\) qui ne sont pas en somme directe
• Une somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels est directe si et seulement si aucun de ces sous-espaces vectoriels n'est inclus dans la somme des autres.
• Les droites \(\operatorname{Vect}(1,0,0)\), \(\operatorname{Vect}(0,1,0)\), \(\operatorname{Vect}(0,0,1)\) de \(\mathbf{R}^3\) sont en somme directe.
• Définition de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires
• Description géométrique de tous les supplémentaires d'une droite de \(\mathbf{R}^2\) passant par l'origine.
• L'espace des matrices antisymétriques est un supplémentaire de l'espace des matrices symétriques dans \(\mathcal{M}_n(\mathbf{R})\) : une démonstration par analyse-synthèse et une démonstration en utilisant la symétrie vectorielle «transposée»
• Deux supplémentaires de \(\{ P \in \mathbf{R}[X] \;:\; P(1)=0 \}\) dans \(\mathbf{R}[X]\)
• Tout sous-espace vectoriel possède un supplémentaire.
• Définition du sous-espace vectoriel engendré par une partie
• Description du sous-espace vectoriel engendré par une partie finie à l'aide de combinaisons linéaires
• Description du sous-espace vectoriel engendré par une partie quelconque à l'aide de combinaisons linéaires d'un nombre fini de vecteurs
• Somme de deux sous-espaces vectoriels engendrés par des parties finies

[17]  -  Cours du mercredi 11 (2h)

Dénombrement

• Exercice 29 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - \(n\)-listes de \(\{0,1\}\) sans 1 consécutifs

Probabilités de MP2I

• Exercice 20 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - lois binomiales et asymptotique

Algèbre linéaire de MP2I

• Intersection d'une famille de sous-espaces vectoriels
• Une union de deux sous-espaces vectoriels n'est pas nécessairement un sous-espace vectoriel.
• Définition et propriétés de la somme de deux sous-espaces vectoriels
• \( \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbf{R}^3 \;:\; x_1+x_2+x_3=0 \right\} + \left\{ (a,a,a) \in \mathbf{R}^3 \;:\; a \in \mathbf{R} \right\} = \mathbf{R}^3 \)
• \( \displaystyle \left\{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; \int_0^1 f(t) \;\text{d}t = 0 \right\} + \left\{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; \text{$f$ est constante sur \(\mathbf{R}\)} \right\} = \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \)
• \( \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbf{R}^3 \;:\; x_1=0 \right\} + \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbf{R}^3 \;:\; x_3=0 \right\} = \mathbf{R}^3 \)
• Définition d'une somme directe de deux sous-espaces vectoriels
• Caractérisation d'une somme directe de deux sous-espaces vectoriels via l'intersection des deux
• La somme \( \displaystyle \left\{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; \int_0^1 f(t) \;\text{d}t = 0 \right\} + \left\{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; \text{$f$ est constante sur \(\mathbf{R}\)} \right\} \) est directe.
• Définition d'une somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier et apprendre les sous-parties 2.5, 2.7, 2.8, 2.9 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
• Exercice 24 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : CNS pour qu'une union de deux sous-espaces vectoriels soit un sous-espace vectoriel
• Exercice 33 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : décomposition de \( \mathbf{R}^3 \) en somme de trois plans
• Exercice 34 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : la somme des trois sous-espaces propres de la matrice \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \) égale \( \mathcal{M}_{3,1}(\mathbf{R}) \)

[15]  -  Cours du lundi 9 septembre (4h)

Probabilités de MP2I

• Si \( a_1 , \ldots , a_n \) sont des nombres complexes, alors : \( \displaystyle \left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2 \, \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} a_i a_j \).
• Exercice 16 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" : expression de l'espérance à l'aide de la queue de loi
• Exercice 25 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" : loi du cardinal de l'intersection (resp. réunion) de deux parties tirées aléatoirement

Algèbre linéaire de MP2I

• Définition d'un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel
• Propriété d'intégrité mixte dans un \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel
• Les \(\mathbf{K}\)-espaces vectoriels usuels
• Définition d'un sous-espace vectoriel
• Sous-espaces vectoriels triviaux
• Description géométrique des sous-espaces vectoriels de \(\mathbf{R}^2\) et \(\mathbf{R}^3\)
• Critère pour être un sous-espace vectoriel
• Étude d'une partie de \(\mathbf{R}^3\) qui est un sous-espace vectoriel
• Études de parties de \(\mathbf{R}^{\mathbf{R}}\) qui sont ou non des sous-espaces vectoriels
• L'ensemble des suites arithmétiques est un sous-espace vectoriel de \(\mathbf{R}^{\mathbf{N}}\), contrairement à l'ensemble des suites géométriques.
• Le complémentaire d'un sous-espace vectoriel non trivial augmenté du vecteur nul n'est pas un sous-espace vectoriel.
• Un sous-espace vectoriel possède une structure naturelle de \(\mathbf{K}\)-espace vectoriel

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier et apprendre la partie 1 et les sous-parties 2.1, 2.2 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
• Exercice 20 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - lois binomiales et asymptotique
• Exercice 29 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - \(n\)-listes de \(\{0,1\}\) sans 1 consécutifs
• Questions 3,5,6 de l'exercice 17 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" - études de parties de \(\mathbf{R}^{\mathbf{R}}\) qui sont ou non des sous-espaces vectoriels

[11]  -  Cours du vendredi 6 septembre (2h)

Probabilités de MP2I

• Exercice 3 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Deux séries d'appels téléphoniques et conditionnement binomial/binomial
• Exercice 9 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Formule des colonnes pour les coefficients binomiaux
• Exercice 10 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Loi hypergéométrique avec application de la formule de Vandermonde
• Exercice 17 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Espérance et variance de la v.a. égale au nombre de points fixes d'une permutation
• Exercice 18 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Modèle d'urne avec application de la formule des colonnes

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Apprendre le cours "Dénombrement" et la synthèse "Probabilités de MP2I" : interrogation de cours
• Exercice 16 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" : expression de l'espérance à l'aide de la queue de loi
• Exercice 25 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" : loi du cardinal de l'intersection (resp. réunion) de deux parties tirées aléatoirement

[9]  -  TD du jeudi 5 septembre (2h)

Dénombrement et probabilités de MP2I

• Exercice 40 du polycopié de cours "Dénombrement" : théorème de Lagrange sur les groupes finis
• Exercice 1 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Dénombrement de couples/triplets de parties d'un ensemble fini vérifiant certaines propriétés
• Exercice 3 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Deux séries d'appels téléphoniques et conditionnement binomial/binomial
• Exercice 4 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Application de l'inégalité de Biénaymé-Tchebychev pour obtenir un intervalle de confiance asymptotique
• Exercice 7 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Modèle d'urne et suite arithmético-géométrique
• Exercice 11 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Formule du multinôme
• Exercice 12 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Inversion de Pascal et nombre de surjections
• Exercice 10 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Loi hypergéométrique
• Exercice 17 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Espérance et variance de la v.a. égale au nombre de points fixes d'une permutation
• Exercice 18 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" -Modèle d'urne avec application de la formule des colonnes

[7]  -  Cours du jeudi 5 septembre (2h)

Dénombrement

• Pierre angulaire du cours sur les ensembles finis : CNS d'existence d'une injection entre \(\{ 1,..., n \}\) et \(\{ 1,..., m \}\), où \(n\) et \(m\) sont deux entiers naturels non nuls.
• Démonstration combinatoire de la formule du binôme de Newton
• Démonstration combinatoire de la relation de Pascal sur les coefficients binomiaux
• Calcul de la somme \( \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \), où \( k \in \mathbf{N}^* \) : une solution combinatoire et une autre algébrique
• Calcul de la somme \( \displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k \, \binom{n}{k} \), où \( k \in \mathbf{N}^* \)
• Formule de Vandermonde ou des comités : une solution combinatoire et une autre algébrique
• Formule des colonnes pour les coefficients binomiaux : \( \displaystyle \sum_{k=n}^m \binom{k}{n} = \binom{m+1}{n+1} \), où \(n,m\) sont des entiers tels que \( 0 \leqslant n \leqslant m \)

[5]  -  Cours du mercredi 4 septembre (2h)

Dénombrement

• Racines carrées de \( 2 - 3i \)
• Deux études de bijectivité dans le contexte de l'algèbre linéaire
• Injectivité et inversibilité à gauche, surjectivité et inversibilité à droite
• Définition de deux ensembles équipotents
• Les ensembles \( \mathbf{N} \), \( \mathbf{N}^* \), \( \mathbf{Z} \) et \( \mathbf{N}^2 \) sont équipotents.
• Théorème de Cantor : un ensemble et l'ensemble de ses parties ne sont pas équipotents.
• Les ensembles \( \mathbf{N} \) et \( \mathcal{P}(\mathbf{N}) \) ne sont pas équipotents.
• Les ensembles \( \mathbf{N} \) et \( \mathbf{R} \) ne sont pas équipotents.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Étudier les énoncés et les démonstrations de la partie 3 "Ensembles finis" du polycopié de cours "Dénombrement", en comprenant bien les constructions de bijections.
• Apprendre la partie 4 "Synthèse des résultats sur les ensembles finis" du polycopié de cours "Dénombrement".
• Exercice 40 du polycopié de cours "Dénombrement" : théorème de Lagrange sur les groupes finis

[3]  -  Cours du lundi 2 septembre (3h)

Dénombrement

• Définition d'une application
• Définition d'une application injective (resp. surjective, bijective)
• Définition de l'application réciproque d'une application bijective
• Propriétés de la réciproque d'une application bijective
• Étude de l'injectivité (resp. surjectivité) de l'application \( f \colon \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C} \;;\; z \mapsto z^2 \)
• Racines carrées de \( -1+i \) : formes exponentielle et algébrique
• Fonction argch et application au calcul de \( \displaystyle \int_2^5 \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} \;\text{d}x \)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

• Apprendre le cours du jour
• Question 4 de l'exercice 8 du polycopié de cours "Dénombrement" : racines carrées de \( 2 - 3i \)
• Exercice 10 et 11 du polycopié de cours "Dénombrement" : deux études de bijectivité dans le contexte de l'algèbre linéaire
• Étudier les propositions 13 et 14 du polycopié de cours "Dénombrement" : composée d'applications injectives (resp. surjectives, bijectives) et réciproque d'une composée d'applications bijectives