Cahier de texte - Mathématique - MPI-MPI* - 2024-2025

[75] - Cours du lundi 14 octobre (4h)

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

Pour tout $ p \geqslant 1 $, définition de la norme $ || \:\cdot\: ||_p $ sur $ \mathbf{R}^n $
Pour tout $ x \in \mathbf{R}^n $, $ || x ||_p \xrightarrow[p \rightarrow +\infty]{} || x ||_{\infty} $
Résoudre l'exercice 16 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude d'une suite récurrente dont la fonction sous-jacente est contractante
Résoudre l'exercice 17 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": La fonction \[ \left| \begin{array}{rcl} \;\mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{cl} e^{-1/x^2} & \text{si } x>0 \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \] est infiniment dérivable sur $\mathbf{R}$.
Résoudre l'exercice 32 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction continue et convexe sur un segment $S$ atteint son maximum en une des extrémités de $S$.

Espaces vectoriels normés 2

Caractérisation géométrique de la notion de valeur d'adhérence pour une suite, dans un espace vectoriel normé
Définition d'une partie d'un espace vectoriel normé vérifiant la propriété de Bolzano-Weierstraß
Définition d'une partie compacte d'un espace vectoriel normé
Une union finie de compacts d'un espace vectoriel normé est compacte, en particulier une partie finie d'un espace vectoriel normé est compacte.
Une partie compacte d'un espace vectoriel normé est fermée et bornée.
La sphère unité de $ \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est fermée et bornée, mais n'est pas compacte.
$ \mathbf{GL}_n( \mathbf{R} ) $ n'est pas une partie compacte de $ \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $.
Généralisation du théorème de Bolzano-Weierstraß à $ \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $
Une partie fermée et bornée de $ \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est compacte.
La partie $ \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \::\: x^2 + 2 \, y^2 \leqslant 1 \} $ de $ \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est compacte.
Une partie fermée et bornée de $ \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est compacte.
Le groupe orthogonal $ \left( \mathcal{O}_n(\mathbf{R}) , \times \right) $ est une partie compacte de $ \left( \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Résoudre l'exercice 3 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : l'ensemble des valeurs d'adhérence d'une suite $ (u_n)_{n \in \mathbf{N}} $ de réels tels que $ u_{n+1} - u_n \xrightarrow[n \rightarrow +\infty]{} 0 $ est un intervalle de $ \mathbf{R} $.
Résoudre l'exercice 15 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 2" : épaississement d'un compact de $ \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ et un compact de $ \left( \mathbf{R}^n , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est inclus dans une boule fermée de rayon minimal.

[71] - Cours du vendredi 11 octobre (2h)

Compléments sur le DM3 : épreuve 1 du concours Mines-Ponts 2017 en filière PSI

Définition d'une chaîne de Markov homogène (à espace d'états fini)
Matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène
Interprétation probabiliste des puissances de la matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

Exercice 21 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude asymptotique des sommes $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k} $, $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \sin\left(\dfrac{1}{k}\right) $ et $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \sin^2\left(\dfrac{1}{k}\right) $
Exercice 30 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": pour tous $x_1>0,\ldots,x_n>0$, $\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} \right) \, \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \geqslant n^2 $
Exercice 34 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ convexe et majorée est constante.
Exercice 38 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": inégalité de Jensen pour les fonctions
Exercice 42 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": inégalité de Young, inégalité de Hölder et inégalité de Minkowski.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Résoudre l'exercice 16 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude d'une suite récurrente dont la fonction sous-jacente est contractante
Résoudre l'exercice 17 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": La fonction \[ \left| \begin{array}{rcl} \;\mathbf{R} & \rightarrow & \mathbf{R} \\ x & \mapsto & \left\{\begin{array}{cl} e^{-1/x^2} & \text{si } x>0 \\ 0 & \text{sinon} \end{array}\right. \end{array}\right. \] est infiniment dérivable sur $\mathbf{R}$.
Résoudre l'exercice 32 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction continue et convexe sur un segment $S$ atteint son maximum en une des extrémités de $S$.
Résoudre l'exercice 39 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une inégalité associée aux matrices bistochastiques

[69] - TD du jeudi 10 octobre (2h)

DM3 : épreuve 1 du concours Mines-Ponts 2017 en filière PSI

Un exemple de chaînes de Markov
Convergence de suites de matrices
Matrices stochastiques
Un exemple de loi stationnaire pour une chaîne de Markov

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

Exercice 15 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": si $ f \colon [0,1] \rightarrow \mathbf{R} $ est une fonction dérivable sur $[0,1]$ telle que $f(0)=0$ et $f(1)=1$, alors pour tout $ n \in \mathbf{N}^* $, il existe des réels $ 0 < x_1 < \ldots < x_n < 1 $ tels que $ \displaystyle \sum_{k=1}^n f'(x_k) = n $.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre les parties 5. "Fonctions de classe $\mathcal{C}^k$", 6. "Généralités sur les fonctions convexes", 7. "Fonctions convexes dérivables, deux fois dérivables", 8. "Quatre inégalités classiques"
Résoudre l'exercice 21 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude asymptotique des sommes $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k} $, $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \sin\left(\dfrac{1}{k}\right) $ et $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \sin^2\left(\dfrac{1}{k}\right) $
Résoudre l'exercice 26 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": étude asymptotique de la somme $ \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^{1-\alpha}} $ où $ \alpha \in \;]0,1[ $.
Résoudre l'exercice 30 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": pour tous $x_1>0,\ldots,x_n>0$, $\displaystyle \left( \sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x_i} \right) \, \left( \sum_{i=1}^n x_i \right) \geqslant n^2 $
Résoudre l'exercice 34 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ convexe et majorée est constante.

[67] - Cours du jeudi 10 octobre (2h)

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

Exercice 8 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une condition suffisante pour qu'une fonction continue $ f \colon \mathbf{R}_+ \rightarrow \mathbf{R}_+ $ possède un point fixe
Exercice 3 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ continue et périodique est bornée.
Si $ (a,b) \in \mathbf{R}^2 $, détermination des extrema de la fonction $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto a \cos(x) + b \sin(x) $
Exercice 5 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ continue et ayant pour limite $+\infty$ en $\pm \infty$ admet un minimum.
Exercice 12 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} $ continue et ayant pour limite $+0$ en $\pm \infty$ est uniformément continue.
Exercice 23 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une fonction $ f \colon [0,1] \rightarrow \mathbf{R} $ dérivable, nulle en zéro et dont la dérivée ne s'annule en aucun point est de signe constant.
La suite de terme général $ \displaystyle \sum_{k=n}^{2n} \dfrac{1}{k} $ converge vers $\ln(2)$.

[65] - Cours du mercredi 9 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

Exercice 129 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : continuité de l'application $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}^3 \;;\; t \mapsto \left( \cos(t) , \dfrac{\arctan(t)}{t^2+1} , \dfrac{e^t}{2+\sin(t)} \right) $
Une suite réelle bornée, qui possède une unique valeur d'adhérence, est convergente.
Exercice 132 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : continuité d'une application et caractère fermé de son graphe
Caractérisation de la continuité via les ouverts
Caractérisation de la continuité via les fermés
Propriétés topologiques des parties \[ A = \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \;:\; y^{2} + x y + y = x^{3} + x^2 + x + 1 \} \qquad\text{et}\qquad B = \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \;:\; y^{2} + x y + y > x^{3} + x^2 + x + 1 \} \] de $ \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $
Applications uniformément continues
L'uniforme continuité implique la continuité.
L'application $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto x^2 $ est continue sur $\mathbf{R}$ mais non-uniformément continue sur $\mathbf{R}$.
Applications lipschitziennes
Le caractère lischitzien implique l'uniforme continuité.
Si $ \left( E , ||\:\cdot\:|| \right) $ est un espace vectoriel normé alors l'application $ ||\:\cdot\:|| \colon ( \left( E , ||\:\cdot\:|| \right) \rightarrow ( \mathbf{R} , |\:\cdot\:| ) \;;\; x \mapsto ||x|| $ est 1-lipschitzienne (seconde inégalité triangulaire).
Si $A$ est une partie non vide d'un espace vectoriel normé $ \left( E , ||\:\cdot\:|| \right) $ alors l'application \[ \operatorname{d}(\:\cdot\:,A) \colon E \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto \inf_{a \in A} || x - a || \] est 1-lipschitzienne.

Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles

Exercice 10 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": théorème de Borsuk-Ulam en dimension 1

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre le polycopié de cours "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles"
Résoudre l'exercice 8 du TD "Fonctions de la variable réelle à valeurs réelles": une condition suffisante pour qu'une fonction continue $ f \colon \mathbf{R}_+ \rightarrow \mathbf{R}_+ $ possède un point fixe
DM3 : chaînes de Markov, convergence de suites de matrices, matrices stochastiques

[63] - Cours du lundi 7 octobre (4h)

Espaces vectoriels normés 1

Exercice 84 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : adhérence d'une boule ouverte
Exercice 89 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : propriétés topologiques de $\mathcal{S}_n(\mathbf{R})$ et de $GL_n(\mathbf{R})$
Exercice 90 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : propriétés topologiques de $ \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f(1)=1 \} $ pour les normes $ ||\:\cdot\:||_1 $ et $ ||\:\cdot\:||_{\infty} $
Exercice 97 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : densité de $GL_n(\mathbf{R})$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$
Exercice 98 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : alternative topologique des hyperplans
Exercice 108 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : adhérence de $ \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f > 0 \} $ et intérieur de $ \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f(0)=0 \} $ dans $ \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) $ pour la norme $ ||\:\cdot\:||_{\infty} $
Définition de la notion de limite pour une fonction
Unicité de la limite d'une fonction
Caractérisation séquentielle de la notion de limite
La fonction $ f \colon \mathbf{R}^2 \setminus \{(0,0)\} \rightarrow \mathbf{R} \;;\; (x,y) \mapsto \dfrac{xy}{x^2+y^2} $ n'admet aucune limite au point $ (0,0) $.
Composition de limites de fonctions
Limite d'une fonction dans un espace produit
Opérations algébriques sur les limites de fonctions
Définition de la continuité d'une fonction
Opérations algébriques sur les fonctions continues
Composition de fonctions continues
Continuité d'une fonction à valeurs dans un espace produit
Caractérisation séquentielle de la continuité
L'application $ \operatorname{det} \colon \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) \rightarrow \mathbf{R} \;;\; A \mapsto \operatorname{det}(A) $ est continue.
Prolongement d'identités par continuité et densité
Une application $f$ continue de $ \mathbf{R} $ dans $ \mathbf{R} $ qui est un endomorphisme du groupe $ \left( \mathbf{R} , + \right) $ est linéaire.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 129 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : continuité de l'application $ f \colon \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}^3 \;;\; t \mapsto \left( \cos(t) , \dfrac{\arctan(t)}{t^2+1} , \dfrac{e^t}{2+\sin(t)} \right) $
Exercice 132 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : continuité d'une application et caractère fermé de son graphe

[59] - Cours du vendredi 4 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

Définition d'une valeur d'adhérence de suite
Théorème de Bolzano-Weierstraß
Toute suite bornée de $ \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ possède une valeur d'adhérence.
La suite $ \left( X^n \right)_{n \in \mathbf{N}} $ de $ \left( \mathbf{R}[X] , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $ est bornée mais elle ne possède pas de valeur d'adhérence.
Définitions d'une partie ouverte et d'une partie fermée d'un espace vectoriel normé
Un singleton est une partie fermée.
Il existe des parties d'un espace vectoriel normé qui ne sont ni ouvertes, ni fermées.
Propriétés topologiques des boules
Opérations sur les ouverts et les fermés
Une sphère est une partie fermée
Dans un espace vectoriel normé produit, un produit d'ouverts est un ouvert et un produit de fermés est un fermé.
Définition d'un voisinage d'un point
Une partie est ouverte si et seulement si elle est un voisinage de chacun de ses points.
Opérations sur les voisinages
Définition de l'adhérence d'une partie
L'adhérence d'une partie est le plus petit fermé qui la contient.
Une partie est fermée si et seulement si elle est égale à son adhérence.
Caractérisations séquentielles de l'adhérence et des fermés
La partie $ \{ (x,y) \in \mathbf{R}^2 \::\; x=y \} $ est fermée dans $ \left( \mathbf{R}^2 , ||\:\cdot\:||_{\infty} \right) $.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier les parties 3.8 "Densité d'une partie", 3.9 "Intérieur d'une partie", 3.10 "Frontière d'une partie" et 3.11 "Topologie induite" du du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1".
Exercice 84 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : adhérence d'une boule ouverte
Exercice 89 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : propriétés topologiques de $\mathcal{S}_n(\mathbf{R})$ et de $GL_n(\mathbf{R})$
Exercice 90 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : propriétés topologiques de $ \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f(1)=1 \} $ pour les normes $ ||\:\cdot\:||_1 $ et $ ||\:\cdot\:||_{\infty} $
Exercice 97 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : densité de $GL_n(\mathbf{R})$ dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$
Exercice 98 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : alternative topologique des hyperplans
Exercice 108 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : adhérence de $ \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f > 0 \} $ et intérieur de $ \{ f \in \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) \::\: f(0)=0 \} $ dans $ \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) $ pour la norme $ ||\:\cdot\:||_{\infty} $

[57] - TD du jeudi 3 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

Exercice 51 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : la convergence uniforme d'une suite de fonctions implique sa convergence simple, mais la réciproque est fausse.
Exercice 52 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : étude d'une suite de fonctions qui converge pour la norme $||\:\cdot\:||_1$ et qui diverge pour la norme $||\:\cdot\:||_{\infty}$.
Exercice 58 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : si $ A \in \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) $ est diagonalisable avec un spectre inclus dans le disque unité ouvert, alors la suite de ses puissances converge vers la matrice nulle pour la norme $||\:\cdot\:||_{\infty}$.
Exercice 1 du TD "Espaces vectoriels normés 1": comparaison de deux normes sur $ \mathbf{R}[X] $
Exercice 6 du TD "Espaces vectoriels normés 1": les boules unités ouvertes caractérisent les normes.
Exercice 7 du TD "Espaces vectoriels normés 1": inégalités de Young et normes $||\:\cdot\:||_p$ sur $ \mathbf{R}^n $.
Exercice 8 du TD "Espaces vectoriels normés 1": normes $||\:\cdot\:||_p$ sur $ \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R}) $.
Exercice 27 du TD "Espaces vectoriels normés 1": norme associée à une jauge.

[55] - Cours du jeudi 3 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

Exercice 29 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : deux boules égales ont nécessairement même centre et même rayon.
Exercice 35 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : stabilité d'une partie convexe d'un $\mathbf{R}$-espace vectoriel par combinaison linéaire convexe (les coefficients sont positifs ou nuls, de somme égale à 1)
Définition d'une partie bornée d'un espace vectoriel normé
Définition d'une suite bornée d'un espace vectoriel normé
La suite de fonctions $ \left( f_n \colon [0,1] \rightarrow \mathbf{R} \;;\; x \mapsto \sqrt{n} \; x^n \right)_{n \in \mathbf{N}} $ de $ \mathcal{C}^0([0,1],\mathbf{R})$ est bornée pour la norme $||\:\cdot\:||_1$ et non bornée pour la norme $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Norme produit sur un produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels normés
Les boules d'un espace produit sont des produits de boules.
Définition d'une suite convergente
Une suite $ (u_n)_{n \in \mathbf{N}} $ d'éléments d'un espace vectoriel normé $ (E,N) $ converge vers un vecteur $a$ de $E$ si et seulement si la suite $ (N(u_n-a))_{n \in \mathbf{N}} $ converge vers $0$ dans $\mathbf{R}$.
Nature de la suite de terme général $ \left( \dfrac{\ln(n)}{n} , \left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^n \right) $ dans $\mathbf{R}^2$ muni de la norme $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Nature de la suite de terme général $ X^n $ dans $\mathbf{R}[X]$ muni de la norme $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Unicité de la limite d'une suite convergente
Une suite convergente est bornée.
Si $x$ est un vecteur d'un espace vectoriel normé, nature de la suite de terme général $ \dfrac{1}{n} \, x $ et nature de la suite de terme général $ n x $
Opérations sur les suites convergentes
Convergence d'une suite dans un espace produit muni de la norme produit
Définition d'une suite extraite d'une suite
Lemme clé pour les suites extraites
Dans un espace vectoriel normé, si une suite de vecteur converge vers un vecteur $a$ alors toute suite extraite de cette suite converge également vers le vecteur $a$

[53] - Cours du mercredi 2 octobre (2h)

Espaces vectoriels normés 1

Exercice 11 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : il n'existe aucune norme multiplicative sur $ \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $ et exemple d'une norme de $\mathbf{R}$-algèbre sur $ \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $
Exercice 12 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : normes usuelles sur $\mathbf{K}[X]$ : $||\:\cdot\:||_1$ , $||\:\cdot\:||_2$ , $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Norme de la convergence en moyenne sur $ \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{K}) $
Norme de la convergence en moyenne quadratique sur $ \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{K}) $
Comparaison des normes $||\:\cdot\:||_1$ et $||\:\cdot\:||_2$ sur $ \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{K}) $
Définition de la distance associée à une norme
Propriétés de la distance associée à une norme
Calcul des distances entre les points $(1,1)$ et $(4,2)$ de $\mathbf{R}^2$ pour les normes $||\:\cdot\:||_1$ , $||\:\cdot\:||_2$ , $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Définitions d'une boule ouverte, d'une boule fermée et d'une sphère dans espace vectoriel normé
Représentations graphiques des boules unités de $\mathbf{R}^2$ pour les normes $||\:\cdot\:||_1$ , $||\:\cdot\:||_2$ , $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Représentation graphique d'une boule fermée dans $ \mathcal{C}^0([a,b],\mathbf{K}) $ pour la norme de la convergence uniforme
Définition d'un segment dans un $\mathbf{R}$-espace vectoriel
Définition d'une partie convexe d'un $\mathbf{R}$-espace vectoriel
Les boules d'un espace vectoriels normés sont des parties convexes.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 29 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : deux boules égales ont nécessairement même centre et même rayon.
Exercice 35 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : stabilité d'une partie convexe d'un $\mathbf{R}$-espace vectoriel par combinaison linéaire convexe (les coefficients sont positifs ou nuls, de somme égale à 1)

[51] - Cours du lundi 30 septembre (4h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Exercice 103 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": une inégalité entre la trace et le déterminant d'une matrice réelle diagonalisable, dont toutes les valeurs propres sont positives.
Exercice 104 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": calcul des puissances de la matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$ d'une part en diagonalisant la matrice, d'autre part à l'aide de la formule du binôme de Newton
Exercice 123 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": caractérisation de la nilpotence d'une matrice via les traces de ses puissances dans le cas où le corps de base est $ \mathbf{C} $

Espaces vectoriels normés 1

Définition d'une norme sur un $\mathbf{K}$-espace vectoriel
Norme du vecteur nul
Norme de l'opposé d'un vecteur
Seconde inégalité triangulaire
Inégalité de Cauchy-Schwarz dans un espace préhilbertien et cas d'égalité
Inégalité de Minkowski dans un espace préhilbertien et cas d'égalité
Norme associée à un produit scalaire
Normes usuelles sur $\mathbf{K}^n$ : $||\:\cdot\:||_1$ , $||\:\cdot\:||_2$ , $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Comparaison des trois normes usuelles sur $\mathbf{K}^n$
L'application \[ ||\:\cdot\:|| \;\colon\; \mathbf{R}_n[X] \rightarrow \mathbf{R}_+ \;;\; P \mapsto \sqrt{ \sum_{i=0}^n P(i)^2 } \] est une norme sur $\mathbf{R}_n[X]$.
Définition d'une application bornée d'un ensemble non vide $ A $ à valeurs dans $\mathbf{K}$
La partie $ \mathcal{B}(A,\mathbf{K}) $ de $\mathbf{K}^A$ est un sous-espace vectoriel
Passage à la borne supérieure
Norme de la convergence uniforme sur $ \mathcal{B}(A,\mathbf{K}) $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 11 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : il n'existe aucune norme multiplicative sur $ \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $ et exemple d'une norme de $\mathbf{R}$-algèbre sur $ \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $
Exercice 12 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : normes usuelles sur $\mathbf{K}[X]$ : $||\:\cdot\:||_1$ , $||\:\cdot\:||_2$ , $||\:\cdot\:||_{\infty}$
Exercice 13 du polycopié de cours "Espaces vectoriels normés 1" : Comparaison des trois normes usuelles sur $\mathbf{K}[X]$

[47] - Cours du vendredi 27 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Caractérisation de la diagonalisabilité via le scindage du polynôme caractéristique et la multiplicité de ses racines
Trace et déterminant d'un endomorphisme/d'une matrice diagonalisable
Définition d'une matrice trigonalisable
Toute matrice triangulaire supérieure est semblable à une matrice triangulaire inférieure et réciproquement.
Influence du corps de base sur la trigonalisabilité d'une matrice
Définition d'un endomorphisme trigonalisable
Un endomorphisme est trigonalisable si et seulement si sa matrice dans une base quelconque est trigonalisable.
Une matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) $ est trigonalisable si et seulement si l'endomorphisme de $ \mathbf{K}^n $ canoniquement associé est trigonalisable.
Caractérisation de la trigonalisabilité via le polynôme caractéristique
Trigonalisabilité dans le cas où le corps de base est $\mathbf{C}$
Trigonalisation de la matrice $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $
Définition d'une matrice nilpotente et du nilindice d'une telle
Une matrice triangulaire stricte est nilpotente
Définition d'un endomorphisme nilpotent et du nilindice d'un tel
Un endomorphisme est nilpotent si et seulement si sa matrice dans une base quelconque est nilpotente.
Une matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) $ est nilpotente si et seulement si l'endomorphisme de $ \mathbf{K}^n $ canoniquement associé est nilpotent.
Majoration du nilindice
Caractérisation de la nilpotence via le polynôme caractéristique
La seule matrice nilpotente et diagonalisable est la matrice nulle.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 103 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": une inégalité entre la trace et le déterminant d'une matrice réelle diagonalisable, dont toutes les valeurs propres sont positives.
Exercice 104 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": calcul des puissances de la matrice $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$
Exercice 123 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": caractérisation de la nilpotence d'une matrice via les traces de ses puissances dans le cas où le corps de base est $ \mathbf{C} $

[45] - TD du jeudi 26 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Exercice 4 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": la matrice $ \begin{pmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \end{pmatrix} $ n'est pas diagonalisable sur $ \mathbf{R} $, est diagonalisable sur $ \mathbf{C} $ et est semblable à la matrice $ \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $.
Exercice 6 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'application : \[ f \colon \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \rightarrow \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) \;;\; M \mapsto \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \, M - M \, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \]
Exercice 15 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": droites stables de l'endomorphisme de $ \mathbf{R}^3 $ canoniquement associé à la matrice $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} $
Exercice 18 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'application : \[ f \colon \mathbf{R}_n[X] \rightarrow \mathbf{R}_n[X] \;;\; P \mapsto n^2 \, X \, P - \left( X^2 + X \right) \, P' - X^3 \, P'' \]
Exercice 20 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": une matrice de rang 1 est diagonalisable si et seulement si sa trace est non nulle.
Exercice 23 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": résolution de l'équation \[ M^3 - 2 M = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 10 & 4 \end{pmatrix} \] d'inconnue $ M \in \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) $
Exercice 37 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": une matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbf{R}) $ possède une valeur propre réelle si $ n $ est impaire, mais ne possède pas nécessairement de valeur propre réelle si $ n $ est pair.
Exercice 41 du TD "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": densité de $ \mathbf{GL}_n(\mathbf{C}) $ dans $ \mathcal{M}_n(\mathbf{C}) $

[43] - Cours du jeudi 26 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Exercice 83 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'inverse d'une matrice inversible
Exercice 84 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": polynôme caractéristique du produit de deux matrices
Définition d'un endomorphisme diagonalisable
Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si sa matrice dans une base quelconque est diagonalisable.
Une matrice de $ \mathcal{M}_n(\mathbf{K}) $ est diagonalisable si et seulement si l'endomorphisme de $ \mathbf{K}^n $ canoniquement associé est diagonalisable.
Projecteurs et symétries sont diagonalisables.
Caractérisation de la diagonalisabilité via la somme directe des sous-espaces propres
Caractérisation de la diagonalisabilité via la somme directe des dimensions des sous-espaces propres
Diagonalisabilité et éléments propres de l'endomorphisme \[ f \colon \mathbf{K}^n \rightarrow \mathbf{K}^n \;;\; (x_1,\ldots,x_n) \mapsto \left( \sum_{i=1}^n x_i , \ldots , \sum_{i=1}^n x_i \right) \]
Si le polynôme caractéristique d'un endomorphisme (resp. d'une matrice) est scindé à racines simples alors cet endomorphisme (resp. cette matrice) est diagonalisable.
Une matrice triangulaire dont les coefficients diagonaux sont deux à deux distincts est diagonalisable.
Si $ M \in \mathcal{M}_2(\mathbf{R}) $ vérifie $ \operatorname{tr}(M)^2 > 4 \, \operatorname{det}(M) $ alors $ M $ est diagonalisable sur $ \mathbf{R} $.

[41] - Cours du mercredi 25 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Deux matrices semblables ont les mêmes valeurs propres.
Si deux matrices ont le même polynôme caractéristique, elles ne sont pas nécessairement semblables.
Exercice 73 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de cinq matrices $(3,3)$
Exercice 76 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'endomorphisme $ f \colon \mathbf{K}_n[X] \rightarrow \mathbf{K}_n[X] \;;\; P \mapsto P + P' $
Polynôme caractéristique et valeurs propres d'une matrice triangulaire
Polynôme caractéristique d'un endomorphisme induit
Rappel sur la multiplicité d'une racine de polynôme
Définition de l'ordre de multiplicité d'une valeur propre
La multiplicité d'une valeur propre majore la dimension du sous-espace propre.
Exercice 81 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": polynôme caractéristique d'une matrice compagnon
Définition d'une matrice carrée diagonalisable
Une matrice diagonalisable ne possédant qu'une valeur propre est une homothétie.
Une matrice diagonalisable possède un polynôme caractéristique scindé.
Une matrice donc le polynôme caractéristique est scindé n'est pas nécessairement diagonalisable.
Influence du corps de base sur la diagonalisabilité d'une matrice

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 83 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'inverse d'une matrice inversible
Exercice 84 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": polynôme caractéristique du produit de deux matrices

[39] - Cours du lundi 24 septembre (4h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Exercice 40 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": valeurs propres et vecteurs propres de l'endomorphisme de $\mathbf{R}^2$ canoniquement associé à la matrice $ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} $.
Définition des sous-espaces propres d'un endomorphisme
CNS pour que 0 soit valeur propre d'un endomorphisme $u$ et $E_0(u)=\operatorname{Ker}(u)$
Des sous-espaces propres distincts d'un endomorphisme sont en somme directe.
Majoration du nombre des valeurs propres d'un endomorphisme d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie
Une méthode pour déterminer les éléments propres d'un endomorphisme : équatio aux éléments propres
Éléments propres d'une homothétie
Éléments propres d'un endomorphisme nilpotent
Éléments propres de l'opérateur de dérivation sur $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R})$
Éléments propres de l'opérateur de dérivation sur $\mathbf{R}[X]$
Endomorphismes qui commutent et sous-espaces stables
Un endomorphisme stabilise son noyau, son image et ses sous-espaces propres
Réduction d'un endomorphisme $u$ d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel $E$ tel que $E=\operatorname{Ker}(u) \oplus \operatorname{Im}(u) $
Réduction d'un endomorphisme $u$ d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel qui est somme directe des sous-espaces propres de $u$
Définition des éléments propres d'une matrice carrée
Spectre réel (resp. complexe) de la matrice $ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} $
\'Eléments propres d'un endomorphisme versus éléments propres d'une matrice
Majoration du nombre de valeurs propres d'une matrice
Définition du polynôme caractéristique d'une matrice
Polynôme caractéristique de la matrice $ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $
Polynôme caractéristique de deux matrices semblables
Définition du polynôme caractéristique d'un endomorphisme
Degré et coefficients remarquables du polynôme caractéristiques
Les valeurs propres sont les racines du polynôme caractéristique

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 73 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de cinq matrices $(3,3)$
Exercice 76 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": éléments propres de l'endomorphisme $ f \colon \mathbf{K}_n[X] \rightarrow \mathbf{K}_n[X] \;;\; P \mapsto P + P' $
Exercice 81 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": polynôme caractéristique d'une matrice compagnon

[35] - Cours du vendredi 20 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Exercice 16 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": si $A,B$ sont des matrices carrées réelles qui commutent alors $\det\left(A^2+B^2\right) \geqslant 0 $
Exercice 22 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1" : calcul d'un endomorphisme induit par un endomorphisme $u$ de $\mathbf{R}^3$ sur un plan stable par $u$
Détermination des droites de $\mathbf{R}^2$ stables sous l'endomorphisme de $\mathbf{R}^2$ canoniquement associé à la matrice $ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $.
Base d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel adaptée à un sous-espace vectoriel
Sous-espaces stables par un endomorphisme et matrices triangulaires par blocs
Base adaptée à une décomposition d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel en somme directe de sous-espaces vectoriels
Décomposition d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel en somme directe de sous-espaces vectoriels stables et matrices diagonales par blocs
Définition d'un endomorphisme diagonalisable
Un endomorphisme d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel $E$ est diagonalisable si et seulement si $E$ admet une décomposition en somme directe de droites stables.
Définition des valeurs propres et des vecteurs propres d'un endomorphismes
Un endomorphisme possède une valeur propre si et seulement s'il stabilise une droite.
Caractérisation des valeurs propres et des vecteurs propres d'un endomorphisme $u$ via le noyau de $ u - \lambda \, \text{id} $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Exercice 40 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1": valeurs propres et vecteurs propres de l'endomorphisme de $\mathbf{R}^2$ canoniquement associé à la matrice $ \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} $.

[33] - TD du jeudi 19 septembre (2h)

Correction du DM1

Fonctions $ f \in \mathcal{D}^3\left(\mathbf{R},\mathbf{R}\right) $ telles que $f^{(3)}f=0$

Correction du DM2

Franchissement d'une barrière de péage à trois voies
Matrices de Rademacher
Des contre-exemples en algèbre linéaire
Réduction guidée d'un endomorphisme de $\mathbf{R}^3$
Centre de $ \mathcal{L}(E) $
Unions finies de sous-espaces vectoriels
Existence d'un supplémentaire commun

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre le cours du jour.
Exercice 16 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1" : si $A,B$ sont des matrices carrées réelles qui commutent alors $\det\left(A^2+B^2\right) \geqslant 0 $
Exercice 22 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1" : calcul d'un endomorphisme induit par un endomorphisme $u$ de $\mathbf{R}^3$ sur un plan stable par $u$

[31] - Cours du jeudi 19 septembre (2h)

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Rappels sur les produits de $\mathbf{K}$-espaces vectoriels
Dimension d'une somme de sous-espaces vectoriels
Somme et produit de deux matrices définies par blocs
Interprétation géométrique des blocs d'une matrice définie par blocs
Inversibilité et inverse de la matrice $\begin{pmatrix} 1 & L \\ 0 & M \end{pmatrix}$ où $L$ est un vecteur ligne et $M$ une matrice carrée inversible.
Déterminant d'une matrice triangulaire par blocs
Puissances d'une matrice diagonale par blocs
Démonstration de $ \det\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} = \det(AD-BC) $ si $C,D$ commutent et $D$ est inversible.
Définition d'un sous-espace vectoriel stable par un endomorphisme
Définition d'un endomorphisme induit sur un sous-espace vectoriel stable
Sous-espaces de $ \mathbf{K}[X] $ stables par dérivation

[29] - Cours du mercredi 18 septembre (2h)

Algèbre linéaire de MP2I

Exercice 122 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : calcul des coordonnées d'un vecteur de $\mathbf{R}^3$ dans une base de $\mathbf{R}^3$
Exercice 158 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : toute matrice inversible peut être vue comme une matrice de passage.
Une matrice carrée est inversible si et seulement si elle est inversible à droite, si et seulement si elle est inversible à gauche.
Composer une application linéaire par un automorphisme ne modifie pas son rang.
Un endomorphisme est de rang $r$ si et seulement si il est représentable par la matrice de Jordan $J(r)$ dans des bases.
Une matrice est de rang $r$ si et seulement si elle est équivalente à la matrice de Jordan $J(r)$.
Définition d'un hyperplan d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel
Si $H$ est un hyperplan d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel $E$, alors tout vecteur de $E$ hors de $H$ engendre une droite supplémentaire de $H$ dans $E$.
Un sous-espace vectoriel d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel $E$ est un hyperplan si et seulement s'il possède un supplémentaire dans $E$ qui est une droite.

Réduction des endomorphismes et des matrices 1

Projecteurs associés à une décomposition en somme directe

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre le cours du jour, spécialement les démonstrations mettant en jeu des transferts de propriétés des applications linéaires vers les matrices.
Étudier la partie 10 "Déterminant" du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
Étudier la partie 2.1 "Sous-espaces stables et endomorphismes induits" du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1".
Exercice 20 du polycopié de cours "Réduction des endomorphismes et des matrices 1" : Sous-espaces de $ \mathbf{K}[X] $ stables par dérivation

[27] - Cours du lundi 16 septembre (4h)

Algèbre linéaire de MP2I

Surjectivité de l'application $ f \colon \mathbf{K}_n[X] \rightarrow \mathbf{K}_n[X] \;;\; P \mapsto P-P' $
Théorème et formule du rang
Critères pour qu'une application linéaire entre deux $\mathbf{K}$-espaces vectoriels de dimension finie soit un isomorphisme
Si $P$ est un polynôme de degré $n$ à coefficients réels et $\lambda$ est un réel non nul, alors il existe un unique polynôme $Q$ de degré inférieur ou égal à $n$ tel que la fonction $ x \mapsto Q(x) \exp(\lambda x) $ est une primitive de la fonction $ x \mapsto P(x) \exp(\lambda x) $
Coordonnées d'un vecteur dans une base
Matrice d'une application linéaire dans des bases
Expression des coordonnées de l'image d'un vecteur $u \in E$ dans la base $\underline{f}$ de $F$ par une application linéaire $\varphi \colon E \rightarrow F$ en fonction des coordonnées du vecteur $u$ dans la base $\underline{e}$ et de la matrice $\operatorname{Mat}_{\underline{e},\underline{f}}(\varphi)$ de application linéaire : $\operatorname{Mat}_{\underline{f}}(\varphi(u)) = \operatorname{Mat}_{\underline{e},\underline{f}}(\varphi) \times \operatorname{Mat}_{\underline{e}}(u)$
Matrice d'une composée d'applications linéaires dans des bases
Application linéaire canoniquement associée à une matrice
Définition du noyau et de l'image d'une application linéaire
Formule du rang pour une matrice
Le rang d'une matrice est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ses colonnes.
Une matrice est inversible si et seulement si son noyau est trivial.
Matrices de passages
Tout endomorphisme nilpotent d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie peut être représentée par une matrice triangulaire supérieure stricte dans une base
Théorème de changement de base pour les applications linéaires
Théorème de changement de base pour les endomorphismes
Factorisation de la différence de deux puissances de matrices qui commutent
Si $A$ est une matrice nilpotente, alors la matrice $I_n+A$ est inversible.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre le cours du jour, spécialement la trigonalisation des endomorphismes nilpotents.
Étudier les parties 8.3 "Matrices inversibles", 8.4 "Trace d'une matrice carrée", 8.5 "Transposée d'une matrice" et 8.6 "Rang d'une matrice et matrices $J_{n,p}(r)$" du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
Exercice 122 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : calcul des coordonnées d'un vecteur de $\mathbf{R}^3$ dans une base de $\mathbf{R}^3$
Exercice 158 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : toute matrice inversible peut être vue comme une matrice de passage.

[23] - Cours du vendredi 13 septembre (2h)

Algèbre linéaire de MP2I

Exercice 45 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : Les sous-espaces $ \{ f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; f''+f=0 \}$ et $ \{ f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; f(0)=f(\pi/2) \}$ sont supplémentaires dans $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R})$.
Théorème des degrés échelonnés (famille libre)
Construction d'une base adaptée à une décomposition de l'espace en somme directe de sous-espace
Théorème des degrés échelonnés (base)
Définition d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie
Lemme clé pour le théorème de la base extraite
Théorème de la base extraite
Existence d'une base pour un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie
Lemme clé pour le théorème de la base incoomplète
Théorème de la base incomplète
Comparaison des cardinaux de familles libres et de familles génératrices d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie
Définition de la dimension d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie
Dans un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie, un famille libre de cardinal maximal est une base.
Dans un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie, un famille génératrice de cardinal minimal est une base.
Un sous-espace $F$ d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel $E$ de dimension finie est lui-même de dimension finie, $\operatorname{dim}(F) \leqslant \operatorname{dim}(E)$ et, si $\operatorname{dim}(F) = \operatorname{dim}(E)$, alors $E=F$.
Formules de Grassmann
Dimension d'une somme directe de sous-espaces
Dimension de l'intersection de deux hyperplans distincts d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie
Critère pour que deux sous-espaces d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel de dimension finie soient supplémentaires via la dimension
Image directe (resp. réciproque) d'un sous-espace vectoriel par une application linéaire
Noyau et image d'une application linéaire
Critère d'injectivité d'une application linéaire via son noyau (resp. son image)

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre une démonstration du théorème 53, basée sur des arguments de minimalité, tant pour un sous-espace engendré que pour la somme de deux sous-espaces.
Étudier et apprendre une démonstration de la proposition 113.
Étudier les parties 6 "Applications linéaires" et 7 "Matrices d'applications linéaires" du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
Devoir maison n°2 : franchissement d'une barrière de péage à trois voies, matrices de Rademacher, contre-exemples en algèbre linéaire, réduction guidée d'un endomorphisme de $\mathbf{R}^3$, centre de $\mathcal{L}(E)$, unions finies de sous-espaces vectoriels d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel, existence d'un supplémentaire commun.

[21] - TD du jeudi 12 septembre (2h)

Algèbre linéaire de MP2I

Exercice 34 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : la somme des trois sous-espaces propres de la matrice $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $ égale $ \mathcal{M}_{3,1}(\mathbf{R}) $
Exercice 16 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : image d'une somme de sous-espaces vectoriels par une application linéaire
Exercice 30 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : projecteurs
Exercice 39 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : inégalités sur le rang
Exercice 40 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : rang d'un endomorphisme de $\mathbf{R}^3$ nilpotent de nilindice 2
Exercice 54 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : équation matricielle $ X = \operatorname{tr}(X) A + B $
Exercice 63 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : supplémentaire de $ A \mathbf{K}[X] $ dans $ \mathbf{K}[X] $
Exercice 66 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : trigonalisation d'un endomorphisme nilpotent
Exercice 67 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : une caractérisation des homothéties
Exercice 74 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : rang de l'application $ \mathcal{L}(E) \rightarrow \mathcal{L}(E) \;;\; v \mapsto v \circ u $
Exercice 75 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : sous-espaces de $ \mathbf{K}[X] $ stables par dérivation
Exercice 80 du TD "Algèbre linéaire de MP2I" : liberté de la famille $ \left( P(X+x_0) , P(X+x_1) , \ldots , P(X+x_n) \right) $ où $P$ est un polynôme de degré $n$ et $x_0,x_1,\ldots,x_n$ sont des scalaires deux à deux distincts

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre les parties 3 "Familles remarquables finies", 4 "Familles remarquables" et 5 "Dimension finie" du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I"
Exercice 45 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : Les sous-espaces $ \{ f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; f'' + f = 0 \}$ et $ \{ f \in \mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; f(0)=f(\pi/2) \}$ sont supplémentaires dans $\mathcal{C}^{\infty}(\mathbf{R},\mathbf{R})$.

[19] - Cours du jeudi 12 septembre (2h)

Algèbre linéaire de MP2I

Exercice 24 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : CNS pour qu'une union de deux sous-espaces vectoriels soit un sous-espace vectoriel
Exercice 33 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : décomposition de $ \mathbf{R}^3 $ en somme de trois plans
Définition d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels en somme directe
Caractérisation du caractère direct d'une somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels, via l'unicité de la décomposition du vecteur nul dans cette somme
Des sous-espaces vectoriels deux à deux en somme directe ne sont pas nécessairement en somme direct : contre exemple avec trois droites de $\mathbf{R}^2$ passant par l'origine.
Exemple de trois plans de $\mathbf{R}^3$ qui ne sont pas en somme directe
Une somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels est directe si et seulement si aucun de ces sous-espaces vectoriels n'est inclus dans la somme des autres.
Les droites $\operatorname{Vect}(1,0,0)$, $\operatorname{Vect}(0,1,0)$, $\operatorname{Vect}(0,0,1)$ de $\mathbf{R}^3$ sont en somme directe.
Définition de deux sous-espaces vectoriels supplémentaires
Description géométrique de tous les supplémentaires d'une droite de $\mathbf{R}^2$ passant par l'origine.
L'espace des matrices antisymétriques est un supplémentaire de l'espace des matrices symétriques dans $\mathcal{M}_n(\mathbf{R})$ : une démonstration par analyse-synthèse et une démonstration en utilisant la symétrie vectorielle «transposée»
Deux supplémentaires de $\{ P \in \mathbf{R}[X] \;:\; P(1)=0 \}$ dans $\mathbf{R}[X]$
Tout sous-espace vectoriel possède un supplémentaire.
Définition du sous-espace vectoriel engendré par une partie
Description du sous-espace vectoriel engendré par une partie finie à l'aide de combinaisons linéaires
Description du sous-espace vectoriel engendré par une partie quelconque à l'aide de combinaisons linéaires d'un nombre fini de vecteurs
Somme de deux sous-espaces vectoriels engendrés par des parties finies

[17] - Cours du mercredi 11 (2h)

Dénombrement

Exercice 29 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - $n$-listes de $\{0,1\}$ sans 1 consécutifs

Probabilités de MP2I

Exercice 20 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - lois binomiales et asymptotique

Algèbre linéaire de MP2I

Intersection d'une famille de sous-espaces vectoriels
Une union de deux sous-espaces vectoriels n'est pas nécessairement un sous-espace vectoriel.
Définition et propriétés de la somme de deux sous-espaces vectoriels
$ \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbf{R}^3 \;:\; x_1+x_2+x_3=0 \right\} + \left\{ (a,a,a) \in \mathbf{R}^3 \;:\; a \in \mathbf{R} \right\} = \mathbf{R}^3 $
$ \displaystyle \left\{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; \int_0^1 f(t) \;\text{d}t = 0 \right\} + \left\{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; \text{$f$ est constante sur \(\mathbf{R}$} \right\} = \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \)
$ \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbf{R}^3 \;:\; x_1=0 \right\} + \left\{ (x_1,x_2,x_3) \in \mathbf{R}^3 \;:\; x_3=0 \right\} = \mathbf{R}^3 $
Définition d'une somme directe de deux sous-espaces vectoriels
Caractérisation d'une somme directe de deux sous-espaces vectoriels via l'intersection des deux
La somme $ \displaystyle \left\{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; \int_0^1 f(t) \;\text{d}t = 0 \right\} + \left\{ f \in \mathcal{C}^0(\mathbf{R},\mathbf{R}) \;:\; \text{$f$ est constante sur \(\mathbf{R}$} \right\} \) est directe.
Définition d'une somme d'un nombre fini de sous-espaces vectoriels

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre les sous-parties 2.5, 2.7, 2.8, 2.9 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
Exercice 24 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : CNS pour qu'une union de deux sous-espaces vectoriels soit un sous-espace vectoriel
Exercice 33 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : décomposition de $ \mathbf{R}^3 $ en somme de trois plans
Exercice 34 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" : la somme des trois sous-espaces propres de la matrice $ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $ égale $ \mathcal{M}_{3,1}(\mathbf{R}) $

[15] - Cours du lundi 9 septembre (4h)

Probabilités de MP2I

Si $ a_1 , \ldots , a_n $ sont des nombres complexes, alors : $ \displaystyle \left( \sum_{i=1}^n a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^n a_i^2 + 2 \, \sum_{1 \leqslant i < j \leqslant n} a_i a_j $.
Exercice 16 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" : expression de l'espérance à l'aide de la queue de loi
Exercice 25 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" : loi du cardinal de l'intersection (resp. réunion) de deux parties tirées aléatoirement

Algèbre linéaire de MP2I

Définition d'un $\mathbf{K}$-espace vectoriel
Propriété d'intégrité mixte dans un $\mathbf{K}$-espace vectoriel
Les $\mathbf{K}$-espaces vectoriels usuels
Définition d'un sous-espace vectoriel
Sous-espaces vectoriels triviaux
Description géométrique des sous-espaces vectoriels de $\mathbf{R}^2$ et $\mathbf{R}^3$
Critère pour être un sous-espace vectoriel
Étude d'une partie de $\mathbf{R}^3$ qui est un sous-espace vectoriel
Études de parties de $\mathbf{R}^{\mathbf{R}}$ qui sont ou non des sous-espaces vectoriels
L'ensemble des suites arithmétiques est un sous-espace vectoriel de $\mathbf{R}^{\mathbf{N}}$, contrairement à l'ensemble des suites géométriques.
Le complémentaire d'un sous-espace vectoriel non trivial augmenté du vecteur nul n'est pas un sous-espace vectoriel.
Un sous-espace vectoriel possède une structure naturelle de $\mathbf{K}$-espace vectoriel

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier et apprendre la partie 1 et les sous-parties 2.1, 2.2 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I".
Exercice 20 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - lois binomiales et asymptotique
Exercice 29 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - $n$-listes de $\{0,1\}$ sans 1 consécutifs
Questions 3,5,6 de l'exercice 17 du polycopié de cours "Algèbre linéaire de MP2I" - études de parties de $\mathbf{R}^{\mathbf{R}}$ qui sont ou non des sous-espaces vectoriels

[11] - Cours du vendredi 6 septembre (2h)

Probabilités de MP2I

Exercice 3 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Deux séries d'appels téléphoniques et conditionnement binomial/binomial
Exercice 9 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Formule des colonnes pour les coefficients binomiaux
Exercice 10 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Loi hypergéométrique avec application de la formule de Vandermonde
Exercice 17 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Espérance et variance de la v.a. égale au nombre de points fixes d'une permutation
Exercice 18 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Modèle d'urne avec application de la formule des colonnes

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre le cours "Dénombrement" et la synthèse "Probabilités de MP2I" : interrogation de cours
Exercice 16 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" : expression de l'espérance à l'aide de la queue de loi
Exercice 25 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" : loi du cardinal de l'intersection (resp. réunion) de deux parties tirées aléatoirement

[9] - TD du jeudi 5 septembre (2h)

Dénombrement et probabilités de MP2I

Exercice 40 du polycopié de cours "Dénombrement" : théorème de Lagrange sur les groupes finis
Exercice 1 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Dénombrement de couples/triplets de parties d'un ensemble fini vérifiant certaines propriétés
Exercice 3 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Deux séries d'appels téléphoniques et conditionnement binomial/binomial
Exercice 4 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Application de l'inégalité de Biénaymé-Tchebychev pour obtenir un intervalle de confiance asymptotique
Exercice 7 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Modèle d'urne et suite arithmético-géométrique
Exercice 11 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Formule du multinôme
Exercice 12 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Inversion de Pascal et nombre de surjections
Exercice 10 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Loi hypergéométrique
Exercice 17 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" - Espérance et variance de la v.a. égale au nombre de points fixes d'une permutation
Exercice 18 du TD "Dénombrement et probabilités de MP2I" -Modèle d'urne avec application de la formule des colonnes

[7] - Cours du jeudi 5 septembre (2h)

Dénombrement

Pierre angulaire du cours sur les ensembles finis : CNS d'existence d'une injection entre $\{ 1,..., n \}$ et $\{ 1,..., m \}$, où $n$ et $m$ sont deux entiers naturels non nuls.
Démonstration combinatoire de la formule du binôme de Newton
Démonstration combinatoire de la relation de Pascal sur les coefficients binomiaux
Calcul de la somme $ \displaystyle \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} $, où $ k \in \mathbf{N}^* $ : une solution combinatoire et une autre algébrique
Calcul de la somme $ \displaystyle \sum_{k=0}^n (-1)^k \, \binom{n}{k} $, où $ k \in \mathbf{N}^* $
Formule de Vandermonde ou des comités : une solution combinatoire et une autre algébrique
Formule des colonnes pour les coefficients binomiaux : $ \displaystyle \sum_{k=n}^m \binom{k}{n} = \binom{m+1}{n+1} $, où $n,m$ sont des entiers tels que $ 0 \leqslant n \leqslant m $

[5] - Cours du mercredi 4 septembre (2h)

Dénombrement

Racines carrées de $ 2 - 3i $
Deux études de bijectivité dans le contexte de l'algèbre linéaire
Injectivité et inversibilité à gauche, surjectivité et inversibilité à droite
Définition de deux ensembles équipotents
Les ensembles $ \mathbf{N} $, $ \mathbf{N}^* $, $ \mathbf{Z} $ et $ \mathbf{N}^2 $ sont équipotents.
Théorème de Cantor : un ensemble et l'ensemble de ses parties ne sont pas équipotents.
Les ensembles $ \mathbf{N} $ et $ \mathcal{P}(\mathbf{N}) $ ne sont pas équipotents.
Les ensembles $ \mathbf{N} $ et $ \mathbf{R} $ ne sont pas équipotents.

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Étudier les énoncés et les démonstrations de la partie 3 "Ensembles finis" du polycopié de cours "Dénombrement", en comprenant bien les constructions de bijections.
Apprendre la partie 4 "Synthèse des résultats sur les ensembles finis" du polycopié de cours "Dénombrement".
Exercice 40 du polycopié de cours "Dénombrement" : théorème de Lagrange sur les groupes finis

[3] - Cours du lundi 2 septembre (3h)

Dénombrement

Définition d'une application
Définition d'une application injective (resp. surjective, bijective)
Définition de l'application réciproque d'une application bijective
Propriétés de la réciproque d'une application bijective
Étude de l'injectivité (resp. surjectivité) de l'application $ f \colon \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{C} \;;\; z \mapsto z^2 $
Racines carrées de $ -1+i $ : formes exponentielle et algébrique
Fonction argch et application au calcul de $ \displaystyle \int_2^5 \dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}} \;\text{d}x $

Travaux à réaliser pour la prochaine séance

Apprendre le cours du jour
Question 4 de l'exercice 8 du polycopié de cours "Dénombrement" : racines carrées de $ 2 - 3i $
Exercice 10 et 11 du polycopié de cours "Dénombrement" : deux études de bijectivité dans le contexte de l'algèbre linéaire
Étudier les propositions 13 et 14 du polycopié de cours "Dénombrement" : composée d'applications injectives (resp. surjectives, bijectives) et réciproque d'une composée d'applications bijectives